Každá funkce má dvě proměnné, a to nezávislou proměnnou a závislou proměnnou. Doslova hodnota závislé proměnné „závisí“na nezávislé proměnné. Například ve funkci y = f (x) = 2 x + y je x nezávislá proměnná a y je závislá proměnná (jinými slovy y je funkcí x). Platné hodnoty pro známou proměnnou x se nazývají „domény původu“. Platné hodnoty pro známou proměnnou y se nazývají „rozsah výsledků“.
Krok
Část 1 ze 3: Nalezení domény funkce
Krok 1. Rozhodněte se, jaký typ funkce budete vykonávat
Doménou funkce jsou všechny hodnoty x (vodorovná osa), které vrátí platné hodnoty y. Rovnice funkce může být kvadratická, zlomková nebo může obsahovat kořen. Chcete -li vypočítat doménu funkce, první věc, kterou musíte udělat, je prozkoumat proměnné v rovnici.
- Kvadratická funkce má tvar sekera2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Mezi funkce se zlomky patří: f (x) = (1/X), f (x) = (x+1)/(x - 1), a další.
- Mezi funkce, které mají kořeny, patří: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x atd.
Krok 2. Zapište si doménu se správným zápisem
Zápis domény funkce zahrnuje použití hranatých závorek [,] i hranatých závorek (,). Pokud číslo patří doméně, použijte hranaté závorky [,] a pokud doména číslo neobsahuje, použijte hranaté závorky (,). Písmeno U označuje spojení, které spojuje části domény, které mohou být odděleny vzdáleností.
- Například doména [-2, 10) U (10, 2] zahrnuje -2 a 2, ale nezahrnuje číslo 10.
- Pokud používáte symbol nekonečna, vždy použijte závorky ().
Krok 3. Nakreslete graf kvadratické rovnice
Kvadratické rovnice vytvářejí parabolický graf, který se otevírá nahoru nebo dolů. Vzhledem k tomu, že parabola bude pokračovat na nekonečnu na ose x, doménou většiny kvadratických rovnic jsou všechna reálná čísla. Jinými slovy, kvadratická rovnice obsahuje všechny hodnoty x na číselném řádku, což udává doménu R. (symbol pro všechna reálná čísla).
- Chcete-li funkci vyřešit, vyberte libovolnou hodnotu x a zadejte ji do funkce. Řešení funkce s hodnotou x vrátí hodnotu y. Hodnoty xay jsou souřadnice (x, y) grafu funkce.
- Vykreslete tyto souřadnice do grafu a postup opakujte s další hodnotou x.
- Vykreslení některých hodnot v tomto modelu vám poskytne přehled o tvaru kvadratické funkce.
Krok 4. Pokud je rovnice funkce zlomkem, udělejte jmenovatel rovno nule
Při práci se zlomky nemůžete nikdy dělit nulou. Tím, že se jmenovatel rovná nule a zjistíte hodnotu x, můžete vypočítat hodnoty, které chcete z funkce extrahovat.
- Například: Určete doménu funkce f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Jmenovatel funkce je (x - 1).
- Nastavte jmenovatel na nulu a vypočítejte hodnotu x: x - 1 = 0, x = 1.
- Zapište si doménu: Doména funkce nezahrnuje 1, ale obsahuje všechna reálná čísla kromě 1; doména je tedy (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) lze číst jako soubor všech reálných čísel kromě 1. Symbol nekonečna, představuje všechna reálná čísla. V tomto případě jsou v doméně zahrnuta všechna reálná čísla větší než 1 a menší než 1.
Krok 5. Pokud je rovnice kořenovou funkcí, nastavte kořenové proměnné na nulu větší nebo rovno
Nemůžete použít odmocninu záporného čísla; proto každá hodnota x, která vede k zápornému číslu, musí být odstraněna z domény funkce.
- Například: Najděte doménu funkce f (x) = (x + 3).
- Proměnné v kořenovém adresáři jsou (x + 3).
- Nastavte hodnotu větší nebo rovnou nule: (x + 3) 0.
- Vypočítejte hodnotu pro x: x -3. Řešení pro x: x -3.
- Doména funkce zahrnuje všechna reálná čísla větší nebo rovna -3; doména je tedy [-3,).
Část 2 ze 3: Zjištění rozsahu kvadratické rovnice
Krok 1. Ujistěte se, že máte kvadratickou funkci
Kvadratická funkce má tvar sekera2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Graf kvadratické funkce je parabola, která se otevírá nahoru nebo dolů. Existují různé způsoby, jak vypočítat rozsah funkce v závislosti na typu funkce, na které pracujete.
Nejjednodušší způsob, jak určit rozsah dalších funkcí, například kořenové funkce nebo zlomkové funkce, je vykreslit funkci pomocí grafové kalkulačky
Krok 2. Najděte hodnotu x vrcholu funkce
Vrchol kvadratické funkce je vrcholem paraboly. Pamatujte, že forma kvadratické funkce je ax2 + bx + c. K nalezení souřadnice x použijte rovnici x = -b/2a. Rovnice je derivací základní kvadratické funkce, která představuje rovnici s nulovým sklonem/sklonem (ve vrcholu grafu je gradient funkce nulový).
- Najděte například rozsah 3x2 + 6x -2.
- Vypočítejte souřadnici x vrcholu: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Krok 3. Vypočítejte hodnotu y vrcholu funkce
Zapojením souřadnice x do funkce vypočítáte odpovídající hodnotu y vrcholu. Tato hodnota y udává limit rozsahu funkce.
- Vypočítejte souřadnici y: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Vrchol této funkce je (-1, -5).
Krok 4. Určete směr paraboly zapojením alespoň jedné další hodnoty x
Vyberte libovolnou jinou hodnotu x a zapojte ji do funkce pro výpočet příslušné hodnoty y. Pokud je hodnota y nad vrcholem, parabola pokračuje v +∞. Pokud je hodnota y pod vrcholem, parabola bude pokračovat na -∞.
- Použijte hodnotu x -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Tento výpočet vrátí souřadnice (-2, -2).
- Tyto souřadnice vám ukazují, že parabola pokračuje nad vrcholem (-1, -5); proto rozsah zahrnuje všechny hodnoty y vyšší než -5.
- Rozsah této funkce je [-5,).
Krok 5. Zapište si rozsah se správným zápisem
Stejně jako domény jsou rozsahy zapsány se stejným zápisem. Pokud je číslo v rozsahu, použijte hranaté závorky [,] a pokud rozsah číslo neobsahuje, použijte hranaté závorky (,). Písmeno U označuje spojení, které spojuje části rozsahu, které mohou být odděleny vzdáleností.
- Například rozsah [-2, 10) U (10, 2] zahrnuje -2 a 2, ale nezahrnuje číslo 10.
- Pokud používáte symbol nekonečna, vždy použijte závorky.
Část 3 ze 3: Zjištění rozsahu z grafu funkce
Krok 1. Nakreslete funkci
Rozsah funkce je nejjednodušší určit pomocí grafu. Mnoho kořenových funkcí má rozsah (-∞, 0] nebo [0, +∞), protože vrchol horizontální paraboly (boční parabola) je na horizontální ose x. V tomto případě funkce zahrnuje všechny kladné hodnoty y, pokud se parabola otevírá, nebo všechny záporné hodnoty y, pokud se parabola otevírá směrem dolů. Frakční funkce budou mít asymptoty (čáry, které nikdy nejsou oříznuty přímkou / křivkou, ale jsou přiblíženy k nekonečnu), které definují rozsah funkce.
- Některé kořenové funkce se spustí nad nebo pod osou x. V tomto případě je rozsah určen číslem, kde začíná funkce root. Pokud parabola začíná na y = -4 a stoupá, pak je rozsah [-4, +∞).
- Nejjednodušší způsob, jak nakreslit funkci, je použít grafický program nebo grafickou kalkulačku.
- Pokud nemáte grafickou kalkulačku, můžete nakreslit hrubý náčrt grafu tak, že do funkce vložíte hodnotu x a získáte příslušnou hodnotu y. Vykreslete tyto souřadnice do grafu, abyste získali představu o tom, jak graf vypadá.
Krok 2. Najděte minimální hodnotu funkce
Ihned po vykreslení funkce byste měli být schopni jasně vidět nejnižší bod grafu. Pokud neexistuje žádná jasná minimální hodnota, vězte, že některé funkce budou pokračovat na -∞ (nekonečno).
Funkce zlomku bude zahrnovat všechny body kromě bodů na asymptotách. Funkce má rozsah jako (-∞, 6) U (6,)
Krok 3. Určete maximální hodnotu funkce
Po nakreslení grafu byste měli být opět schopni identifikovat maximální bod funkce. Některé funkce budou pokračovat na +∞, a proto nebudou mít minimální hodnotu.
Krok 4. Napište rozsah správným zápisem
Stejně jako domény jsou rozsahy zapsány se stejným zápisem. Pokud je číslo v rozsahu, použijte hranaté závorky [,] a pokud rozsah číslo neobsahuje, použijte hranaté závorky (,). Písmeno U označuje spojení, které spojuje části rozsahu, které mohou být odděleny vzdáleností.
- Například rozsah [-2, 10) U (10, 2] zahrnuje -2 a 2, ale nezahrnuje číslo 10.
- Pokud používáte symbol nekonečna, vždy použijte závorky.
