Kořenová forma je algebraický příkaz, který má znak odmocniny (nebo odmocniny nebo vyšší). Tento formulář může často představovat dvě čísla, která mají stejnou hodnotu, i když se na první pohled mohou zdát odlišná (například 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Proto pro tento druh formy potřebujeme „standardní vzorec“. Pokud existují dva příkazy, oba ve standardním vzorci, které vypadají jinak, nejsou stejné. Matematici se shodují, že standardní formulace kvadratické formy splňuje následující požadavky:
- Nepoužívejte zlomky
- Nepoužívejte zlomkové síly
- Vyhněte se použití kořenového formuláře ve jmenovateli
- Neobsahuje násobení dvou kořenových forem
- Čísla pod kořenem již nelze rootovat
Jedním z praktických využití je zkouška s výběrem odpovědí. Když najdete odpověď, ale vaše odpověď není stejná jako dostupné možnosti, zkuste ji zjednodušit na standardní vzorec. Jelikož tvůrci otázek obvykle píší odpovědi ve standardních vzorcích, proveďte totéž se svými odpověďmi, aby odpovídaly jejich. V esejistických otázkách příkazy jako „zjednodušit odpověď“nebo „zjednodušit všechny kořeny“znamenají, že studenti musí provést následující kroky, dokud nesplní standardní vzorec výše. Tento krok lze také použít k řešení rovnic, i když některé typy rovnic lze snáze vyřešit v nestandardních vzorcích.
Krok
Krok 1. V případě potřeby si přečtěte pravidla pro ovládání kořenů a exponentů (obě jsou si rovny - kořeny jsou mocniny zlomků), jak je v tomto procesu potřebujeme
Projděte si také pravidla pro zjednodušení polynomů a racionálních forem, protože je budeme muset zjednodušit.
Metoda 1 ze 6: Dokonalé čtverce
Krok 1. Zjednodušte všechny kořeny obsahující dokonalé čtverce
Dokonalý čtverec je součin čísla samotného, například 81, což je součin 9 x 9. Pro zjednodušení dokonalého čtverce stačí odstranit druhou odmocninu a napsat druhou odmocninu čísla.
- Například 121 je dokonalý čtverec, protože 11 x 11 se rovná 121. Kořen (121) tedy můžete zjednodušit odstraněním kořenového znaménka.
- Aby byl tento krok snazší, musíte si zapamatovat prvních dvanáct dokonalých čtverců: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Krok 2. Zjednodušte všechny kořeny obsahující dokonalé kostky
Dokonalá krychle je součin násobení čísla dvakrát, například 27, což je součin 3 x 3 x 3. Pro zjednodušení kořenové podoby dokonalé krychle stačí odebrat druhou odmocninu a napsat druhou odmocninu čísla.
Například 343 je dokonalá krychle, protože je součinem 7 x 7 x 7. Takže kořen kostky 343 je 7
Metoda 2 ze 6: Převod zlomků na kořeny
Nebo změnit naopak (někdy to pomůže), ale nemíchejte je do stejného příkazu jako root (5) + 5^(3/2). Předpokládáme, že chcete použít kořenový tvar, a použijeme symboly root (n) pro odmocninu a sqrt^3 (n) pro kořen krychle.
Krok 1. Vezměte jeden na sílu zlomku a převeďte jej na kořenovou formu, například x^(a/b) = kořen na b mocniny x^a
Pokud je odmocnina ve zlomkové formě, převeďte ji na běžnou formu. Například druhá odmocnina (2/3) ze 4 = root (4)^3 = 2^3 = 8
Krok 2. Převeďte záporné exponenty na zlomky, například x^-y = 1/x^y
Tento vzorec platí pouze pro konstantní a racionální exponenty. Pokud pracujete s formulářem jako 2^x, neměňte jej, i když problém naznačuje, že x může být zlomek nebo záporné číslo
Krok 3. Sloučit stejný kmen a zjednodušit výslednou racionální formu.
Metoda 3 ze 6: Odstranění zlomků v kořenech
Standardní vzorec vyžaduje, aby kořen byl celé číslo.
Krok 1. Podívejte se na číslo pod odmocninou, pokud stále obsahuje zlomek
Pokud ještě,…
Krok 2. Změňte na zlomek skládající se ze dvou kořenů pomocí kořene identity (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Nepoužívejte tuto identitu, pokud je jmenovatel záporný, nebo pokud se jedná o proměnnou, která může být záporná. V tomto případě nejprve zjednodušte zlomek
Krok 3. Zjednodušte každý dokonalý čtverec výsledku
To znamená, převést sqrt (5/4) na sqrt (5)/sqrt (4), poté zjednodušit na sqrt (5)/2.
Krok 4. Použijte jiné metody zjednodušení, jako je zjednodušení složitých zlomků, kombinace stejných výrazů atd
Metoda 4 ze 6: Kombinace multiplikačních kořenů
Krok 1. Pokud znásobujete jednu kořenovou formu druhou, spojte je do jedné odmocniny pomocí vzorce:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Například změňte root (2)*root (6) na root (12).
- Výše uvedená identita, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), je platná, pokud číslo pod znaménkem sqrt není záporné. Nepoužívejte tento vzorec, když a a b jsou záporné, protože uděláte chybu, když vytvoříte sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Příkaz vlevo se rovná -1 (nebo nedefinovaný, pokud nepoužíváte složitá čísla), zatímco příkaz vpravo je +1. Pokud a a/nebo b jsou záporné, nejprve „změňte“znak jako sqrt (-5) = i*sqrt (5). Pokud je formulář pod kořenovým znaménkem proměnná, jejíž znak je z kontextu neznámý nebo může být kladný nebo záporný, ponechejte jej prozatím tak, jak je. Můžete použít obecnější identitu sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), která platí pro všechna reálná čísla aab, ale obvykle tento vzorec moc nepomáhá, protože přidává na složitosti používání funkce sgn (signum).
- Tato identita je platná pouze v případě, že formy kořenů mají stejný exponent. Různé odmocniny, jako je sqrt (5)*sqrt^3 (7), můžete znásobit jejich převedením na stejnou odmocninu. Chcete -li to provést, dočasně převeďte odmocninu na zlomek: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Poté použijte pravidlo násobení k vynásobení obou na druhou odmocninu 6125.
Metoda 5 ze 6: Odebrání čtvercového faktoru z kořene
Krok 1. Rozdělení nedokonalých kořenů na primární faktory
Faktor je číslo, které při vynásobení jiným číslem tvoří číslo - například 5 a 4 jsou dva faktory 20. Chcete -li rozdělit nedokonalé kořeny, zapište si všechny faktory čísla (nebo co nejvíce, pokud číslo je příliš velké), dokud nenajdete perfektní čtverec.
Zkuste například najít všechny faktory 45: 1, 3, 5, 9, 15 a 45. 9 je faktor 45 a je také dokonalým čtvercem (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Krok 2. Odstraňte všechny multiplikátory, které jsou dokonalými čtverci, z odmocniny
9 je perfektní druhá odmocnina, protože je součinem 3 x 3. Vezměte 9 z odmocniny a nahraďte je 3 před druhou odmocninou, přičemž 5 zůstane uvnitř druhé odmocniny. Pokud „vložíte“3 zpět na druhou odmocninu, vynásobte ji samým, abyste získali 9, a pokud vynásobíte 5, vrátí 45. 3 kořeny z 5 je jednoduchý způsob vyjádření kořene 45.
To znamená, že sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Krok 3. Najděte v proměnné perfektní čtverec
Druhá odmocnina druhé mocniny je | a |. Pokud je známá proměnná kladná, můžete to zjednodušit na „a“. Druhá odmocnina a na mocninu 3 při rozdělení na druhou odmocninu na druhou krát a - pamatujte, že exponenty se sčítají, když vynásobíme dvě čísla mocninou a, takže druhá mocnina krát a rovná se a třetí síla.
Proto je dokonalý čtverec v podobě krychle na druhou
Krok 4. Odeberte z odmocniny proměnnou obsahující perfektní druhou mocninu
Nyní vezměte druhou mocninu z odmocniny a změňte ji na | a |. Jednoduchá forma kořene a na mocninu 3 je | a | root a.
Krok 5. Zkombinujte stejné podmínky a zjednodušte všechny kořeny výsledků výpočtu
Metoda 6 ze 6: Racionalizujte jmenovatele
Krok 1. Standardní vzorec vyžaduje, aby jmenovatelem bylo co nejvíce celé číslo (nebo polynom, pokud obsahuje proměnnou)
-
Pokud se jmenovatel skládá z jednoho výrazu pod kořenovým znaménkem, například […]/root (5), vynásobte čitatele i jmenovatele tímto kořenem, abyste získali […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*root (5)/5.
U kořenů krychle nebo vyšších vynásobte příslušným kořenem, aby byl jmenovatel racionální. Pokud je jmenovatel root^3 (5), vynásobte čitatele a jmenovatele sqrt^3 (5)^2
-
Pokud jmenovatel sestává ze sčítání nebo odčítání dvou odmocnin, jako je sqrt (2) + sqrt (6), vynásobte kvantifikátor a jmenovatel jejich konjugátem, což je stejná forma, ale s opačným znaménkem. Potom […]/(root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6))/(root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Poté použijte vzorec identity pro rozdíl dvou čtverců [(a + b) (ab) = a^2-b^2] k racionalizaci jmenovatele, ke zjednodušení (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- To platí také pro jmenovatele, jako je 5 + sqrt (3), protože všechna celá čísla jsou kořeny jiných celých čísel. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Tato metoda platí také pro přidání kořenů, jako je sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Pokud je seskupíte do (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) a vynásobíte (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), odpověď není racionální, ale stále v kořeni a+b*(30), kde a a b jsou již racionální čísla. Potom opakujte postup s konjugáty a+b*sqrt (30) a (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) bude racionální. V podstatě, pokud můžete použít tento trik k odstranění jednoho kořenového znaku ve jmenovateli, můžete jej mnohokrát opakovat, abyste odstranili všechny kořeny.
- Tuto metodu lze také použít pro jmenovatele, které obsahují vyšší kořen, například čtvrtý kořen 3 nebo sedmý kořen 9. Vynásobte čitatele a jmenovatele konjugátem jmenovatele. Bohužel nemůžeme přímo získat konjugát jmenovatele a je těžké to udělat. Odpověď můžeme najít v algebraické knize o teorii čísel, ale nebudu se tomu věnovat.
Krok 2. Nyní je jmenovatel v racionální formě, ale čitatel vypadá nepořádek
Nyní jej stačí znásobit konjugátem jmenovatele. Pokračujte a množte se, jako bychom násobili polynomy. Zkontrolujte, zda je možné některé pojmy vynechat, zjednodušit nebo kombinovat, je -li to možné.
Krok 3. Pokud je jmenovatel záporné celé číslo, vynásobte čitatele i jmenovatele číslem -1, aby bylo kladné
Tipy
- Na internetu můžete hledat weby, které mohou pomoci zjednodušit kořenové formuláře. Stačí zadat rovnici se znaménkem root a po stisknutí Enteru se zobrazí odpověď.
- U jednodušších otázek nesmíte použít všechny kroky v tomto článku. U složitějších otázek bude možná nutné použít několik kroků více než jednou. Použijte několik „jednoduchých“kroků několikrát a zkontrolujte, zda vaše odpověď odpovídá standardním kritériím formulace, o nichž jsme hovořili dříve. Pokud je vaše odpověď ve standardním vzorci, jste hotovi; ale pokud ne, můžete zkontrolovat jeden z výše uvedených kroků, který vám pomůže s jeho dokončením.
- Většina odkazů na „doporučený standardní vzorec“pro formu kořenů platí také pro komplexní čísla (i = kořen (-1)). I když příkaz obsahuje místo kořene „i“, vyhněte se co nejvíce jmenovatelům, které stále obsahují i.
- Některé z pokynů v tomto článku předpokládají, že všechny kořeny jsou čtverce. Stejné obecné principy platí pro kořeny vyšších mocností, i když s některými částmi (zejména racionalizací jmenovatele) může být docela obtížné pracovat. Rozhodněte se sami, jaký tvar chcete, například sqr^3 (4) nebo sqr^3 (2)^2. (Nepamatuji si, jaká forma se obvykle navrhuje v učebnicích).
- Některé z pokynů v tomto článku používají slovo „standardní vzorec“k popisu „běžné formy“. Rozdíl je v tom, že standardní vzorec akceptuje pouze formu 1+sqrt (2) nebo sqrt (2) +1 a ostatní formy považuje za nestandardní; Prostá forma předpokládá, že vy, čtenář, jste dost chytří na to, abyste viděli „podobnost“těchto dvou čísel, přestože nejsou písemně totožné („stejné“znamená jejich aritmetickou vlastnost (komutativní sčítání), nikoli jejich algebraickou vlastnost (kořen (2) je kořen nezáporný x^2-2)). Doufáme, že čtenáři pochopí lehkou nedbalost při používání této terminologie.
- Pokud se některá z indicií jeví jako nejednoznačná nebo protichůdná, proveďte všechny kroky, které jsou jednoznačné a konzistentní, a poté vyberte libovolný tvar, který upřednostňujete.
