3 způsoby, jak zjednodušit algebraické výrazy

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-15 08:11

Naučit se zjednodušovat algebraické výrazy je jedním z klíčů ke zvládnutí základní algebry a nejužitečnějším nástrojem, který každý matematik potřebuje mít. Zjednodušení umožňuje matematikům převádět složité, dlouhé a/nebo liché výrazy na jednodušší nebo snadnější ekvivalentní výrazy. Naučit se základní zjednodušovací dovednosti je velmi snadné - dokonce i pro ty, kteří nenávidí matematiku. Dodržováním několika jednoduchých kroků je možné zjednodušit mnoho nejčastěji používaných typů algebraických výrazů bez použití speciálních znalostí matematiky. Začněte tím, že se podíváte na krok 1!

Krok

Pochopení důležitých pojmů

Krok 1. Seskupte termíny podle jejich proměnných a sil

V algebře mají podobné výrazy stejnou proměnnou konfiguraci se stejným výkonem. Jinými slovy, aby byly dva výrazy stejné, musí mít stejnou proměnnou nebo žádnou proměnnou a každá proměnná má stejnou moc nebo žádný exponent. Pořadí proměnných v termínech není důležité.

Například 3x² a 4x² jsou jako termíny, protože oba mají proměnnou x o síle čtverce. Nicméně, x a x² nejsou jako termíny, protože každý termín má proměnnou x s jinou mocninou. Téměř stejné, -3yx a 5xz nejsou jako termíny, protože každý výraz má jinou proměnnou.

Krok 2. Faktor zapište číslo jako součin těchto dvou faktorů

Faktoring je koncept zapsání daného čísla jako součinu dvou faktorů, které se násobí. Čísla mohou mít více než jednu sadu faktorů - například 12 lze získat z 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže můžeme říci, že 1, 2, 3, 4, 6 a 12 jsou faktory ze 12 Další způsob představy je, že faktory čísla jsou čísla, která rozdělují číslo na celé.

• Pokud bychom například chtěli faktor 20, mohli bychom to napsat jako 4 × 5.
• Všimněte si, že proměnné termíny mohou být také zohledněny. Například -20x lze zapsat jako 4 (5x).
• Prvočísla nelze rozdělit, protože je lze dělit pouze sami a 1.

Krok 3. Pomocí zkratky KaPaK BoTaK si zapamatujte pořadí operací

Někdy zjednodušení výrazu jednoduše vyřeší operaci v rovnici, dokud již není funkční. V těchto případech je velmi důležité pamatovat si pořadí operací, aby nedocházelo k aritmetickým chybám. Zkratka KaPaK BoTaK vám pomůže zapamatovat si pořadí operací - písmena označují typy operací, které byste měli provést, v pořadí:

• Kselhat
• Pvýtah
• KAli
• Bznovu
• Tpřidat
• Kkrevety

Metoda 1 ze 3: Sloučit podobné podmínky

Krok 1. Zapište si svou rovnici

Nejjednodušší algebraické rovnice, zahrnující pouze několik proměnných členů s celočíselnými koeficienty a bez zlomků, kořenů atd., Lze často vyřešit v několika krocích. U většiny matematických úloh je prvním krokem ke zjednodušení rovnice její zápis!

Jako příklad problému v následujících několika krocích použijeme výraz 1 + 2x - 3 + 4x.

Krok 2. Identifikujte podobné kmeny

Dále hledejte ve své rovnici podobné výrazy. Pamatujte, že podobné výrazy mají stejnou proměnnou a exponent.

Pojďme například identifikovat podobné výrazy v naší rovnici 1 + 2x - 3 + 4x. 2x a 4x oba mají stejnou proměnnou se stejným výkonem (v tomto případě x nemá žádný exponent). Také 1 a -3 jsou jako termíny, protože nemají žádné proměnné. Takže v naší rovnici, 2x a 4x a 1 a -3 jsou podobné kmeny.

Krok 3. Kombinujte podobné výrazy

Nyní, když jste identifikovali podobné výrazy, můžete je zkombinovat a zjednodušit tak svou rovnici. Sečtením výrazů (nebo odečtením v případě záporných výrazů) zredukujete množinu výrazů se stejnou proměnnou a exponentem na jeden stejný výraz.

• V našem příkladu přidejme podobné výrazy.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Krok 4. Ze zjednodušených výrazů vytvořte jednodušší rovnici

Po spojení podobných výrazů vytvořte rovnici z nové, menší sady výrazů. Získáte jednodušší rovnici, která má jeden termín pro různé sady proměnných a mocnin v původní rovnici. Tato nová rovnice je ekvivalentní původní rovnici.

V našem příkladu jsou naše zjednodušené výrazy 6x a -2, takže naše nová rovnice je 6x - 2. Tato jednoduchá rovnice je ekvivalentní originálu (1 + 2x - 3 + 4x), ale kratší a snáze se s ní pracuje. Je také jednodušší faktorovat, na což se podíváme níže, což je další důležitá zjednodušující dovednost.

Krok 5. Při kombinování podobných výrazů dodržujte pořadí operací

Ve velmi jednoduchých rovnicích, jako je ta, na které jsme pracovali v příkladu výše, je identifikace podobných výrazů snadná. Ve složitějších rovnicích, jako jsou výrazy zahrnující závorky, zlomky a kořeny, však podobné výrazy, které lze kombinovat, nemusí být jasně viditelné. V těchto případech dodržujte pořadí operací a podle potřeby provádějte operace s výrazy ve výrazu, dokud operace sčítání a odčítání nezůstanou.

• Použijme například rovnici 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Bylo by špatné okamžitě považovat 3x a 2x za podobné termíny a kombinovat je, protože závorky ve výrazu naznačují, že musíme nejprve provést jiné operace. Nejprve provedeme aritmetické operace s výrazem v pořadí operací, abychom získali termíny, které můžeme použít. Viz následující:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Protože jedinou zbývající operací jsou sčítání a odčítání, můžeme kombinovat podobné výrazy.
  • X² + (15x - 3x) + (8-5)
  • X² + 12x + 3

Metoda 2 ze 3: Faktoring

Krok 1. Identifikujte největší společný faktor ve výrazu

Faktoring je způsob, jak zjednodušit výraz odstraněním faktorů, které jsou stejné ve všech podobných termínech ve výrazu. Pro začátek najděte největší společný faktor, který všechny termíny mají - jinými slovy, největší číslo, které rozděluje všechny termíny ve výrazovém celku.

• Použijme rovnici 9x² + 27x - 3. Všimněte si, že každý výraz v této rovnici je dělitelný 3. Protože termíny nejsou dělitelné žádným větším číslem, můžeme říci, že

  Krok 3. je naším největším společným faktorem.

Krok 2. Rozdělte výrazy ve výrazu největším společným faktorem

Dále rozdělte každý výraz ve své rovnici největším společným faktorem, který jste právě našli. Podmínky kvocientu budou mít menší koeficient než původní rovnice.

• Pojďme faktorizovat naši rovnici jejím největším společným faktorem, 3. Abychom to udělali, rozdělíme každý člen 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Náš nový výraz tedy je 3x² + 9x - 1.

Krok 3. Napište svůj výraz jako součin největšího společného činitele vynásobeného zbývajícími výrazy

Váš nový výraz není ekvivalentní vašemu původnímu výrazu, takže by bylo nesprávné tvrdit, že výraz byl zjednodušen. Aby byl náš nový výraz stejný jako původní, musíme zahrnout skutečnost, že náš výraz byl rozdělen největším společným faktorem. Nový výraz uzavřete do závorek a největší společný faktor původní rovnice zapište jako koeficient výrazu do závorek.

Pro naši příkladovou rovnici 3x² + 9x - 1, můžeme výraz uzavřít do závorek a vynásobit největším společným faktorem původní rovnice, abychom získali 3 (3x² + 9x - 1). Tato rovnice je ekvivalentní původní rovnici, 9x² +27x - 3.

Krok 4. Pomocí faktoringu zjednodušte zlomky

Nyní si možná říkáte, proč se používá faktoring, když i po odstranění největšího společného faktoru musí být nový výraz tímto faktorem znovu vynásoben. Faktoring ve skutečnosti umožňuje matematikům provádět různé triky ke zjednodušení výrazů. Jeden z jeho nejjednodušších triků využívá skutečnosti, že vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem lze získat ekvivalentní zlomky. Viz následující:

• Řekněte náš počáteční příklad výrazu 9x² + 27x - 3, je kvantifikátor větší frakce s 3 jako čitatel. Zlomek bude vypadat takto: (9x² + 27x - 3)/3. Ke zjednodušení zlomků můžeme použít faktoring.

  • Nahraďme výrazový faktor našeho původního výrazu výrazem v čitateli: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Všimněte si, že nyní mají čitatel i jmenovatel koeficient 3. Vydělením čitatele a jmenovatele třemi získáme: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Protože jakýkoli zlomek se jmenovatelem 1 je ekvivalentní výrazům v čitateli, můžeme říci, že náš počáteční zlomek lze zjednodušit na 3x² + 9x - 1.

Metoda 3 ze 3: Uplatnění dalších dovedností zjednodušení

Krok 1. Zjednodušte zlomky dělením stejnými faktory

Jak je uvedeno výše, pokud čitatel a jmenovatel rovnice mají stejné faktory, lze tyto faktory ve zlomku zcela vynechat. Někdy to bude vyžadovat faktorování v čitateli, jmenovateli nebo obojí (jak je tomu v případě příkladu výše), zatímco někdy jsou stejné faktory často zřejmé. Všimněte si, že je také možné rozdělit členy čitatele rovnicí ve jmenovateli jeden po druhém, abychom získali jednoduchý výraz.

• Pojďme pracovat na příkladu, který nevyžaduje faktoring. Pro zlomky (5x² + 10x + 20)/10, pro zjednodušení můžeme každý člen v čitateli vydělit 10, i když je koeficient 5 na 5x² není větší než 10, a proto 10 není faktor.

  Pokud tak učiníme, dostaneme ((5x²)/10) + x + 2. Pokud bychom chtěli, mohli bychom první výraz přepsat jako (1/2) x² tak dostaneme (1/2) x² +x+2.

Krok 2. Použijte čtvercové faktory ke zjednodušení kořenů

Výraz pod kořenovým znaménkem se nazývá kořenový výraz. Tento výraz lze zjednodušit identifikací čtvercových faktorů (faktorů, které jsou druhými mocninami celých čísel) a samostatným provedením operace odmocniny jejich odstraněním zpod odmocniny.

• Ukažme si jednoduchý příklad - (90). Pokud uvažujeme 90 jako součin jeho dvou faktorů, 9 a 10, můžeme vzít odmocninu z 9, což je celé číslo 3, a odstranit ji ze znaku radikálu. Jinými slovy:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Krok 3. Přidejte multiplikátory při vynásobení dvou exponentů; při dělení odečíst

Některé algebraické výrazy vyžadují znásobení nebo dělení mocninných výrazů. Místo manuálního výpočtu nebo dělení každého exponentu stačí při násobení přidat exponenty a při dělení odečíst, abyste ušetřili čas. Tento koncept lze také použít ke zjednodušení proměnných výrazů.

• Použijme například výraz 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/X¹⁵). V každém případě, kdy je požadováno znásobení nebo rozdělení exponentů, odečteme nebo přidáme exponenty, abychom rychle našli jednoduchý výraz. Viz následující:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/X¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Vysvětlení, jak to funguje, najdete níže:

  • Násobení výrazů v exponentech je vlastně jako násobení termínů ne v dlouhých exponentech. Například proto, že x³ = x × x × x a x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x x × x) nebo x⁸.
  • Téměř stejné je dělení exponentů jako dělení výrazů, nikoli dlouhých exponentů. X⁵/X³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Protože každý výraz v čitateli lze přeškrtnout nalezením stejného výrazu ve jmenovateli, zbývají v čitateli pouze dvě x a dole nic, takže odpověď x².

Tipy

• Vždy si pamatujte, že si tato čísla musíte představit jako pozitivní a negativní znaménka. Mnoho lidí přestane přemýšlet o tom, jaké znamení bych sem měl dát?
• Požádejte o pomoc, pokud ji potřebujete!
• Zjednodušení algebraických výrazů není snadné, ale jakmile jej pochopíte, budete ho používat po celý život.

Varování

• Vždy hledejte podobné kmeny a nenechte se zmást hodností.
• Ujistěte se, že nepřidáváte čísla, pravomoci nebo operace, které by neměly být neúmyslně.