Objem objektu představuje trojrozměrný prostor obsazený objektem. O objemu můžete také uvažovat jako o tom, kolik vody (nebo vzduchu, písku atd.) Nějaký tvar pojme, pokud je tvar zcela vyplněn. Jednotkou běžně používanou pro objem je kubický centimetr (cm3), krychlových metrů (m3), krychlových palců (v3) a krychlových stop (ft3). Tento článek vás naučí, jak vypočítat objemy šesti různých trojrozměrných tvarů, které se často nacházejí při zkouškách z matematiky, včetně kostek, koulí a kuželů. Můžete si všimnout, že mnoho z těchto objemových vzorců sdílí něco společného, takže jsou snadno zapamatovatelné. Podívejte se, jestli to dokážete vyřešit!
Stručný přehled informací: Výpočet objemu běžných formulářů
- U pevné krychle nebo čtverce změřte délku, šířku a výšku a poté je znásobte, abyste získali objem. Viz obrázky a detaily.
- Změřte výšku trubky a její poloměr základny. Tento poloměr použijte k nalezení základní plochy podle vzorce r2, pak vynásobte výsledek výškou tuby. Viz obrázky a detaily.
- Standardní pyramida má objem rovný x základní ploše x výšce. Viz obrázky a detaily.
- Objem kužele lze vypočítat podle vzorce r2h, kde r je poloměr základny a h je výška kužele. Viz obrázky a detaily.
-
K měření objemu koule potřebujete pouze její poloměr r. Zapojte tuto hodnotu do vzorce 4/3r3. Viz obrázky a detaily.
Krok
Metoda 1 ze 6: Výpočet objemu krychle
Vypočítat objem Krok 1 Krok 1. Znát tvar kostky
Kostka je trojrozměrný tvar, který má šest stejně velkých čtvercových stran. Jinými slovy, kostka je krabice se všemi stranami stejné velikosti.
Šestihranná matrice je příkladem krychle, kterou můžete najít doma. Kostky cukru a bloky dětských hraček jsou obvykle také kostky
Vypočítat objem Krok 2 Krok 2. Naučte se vzorec pro objem krychle
Vzorec je jednoduchý V = s3, kde V představuje objem a s představuje délku strany krychle.
Chcete -li najít s3, vynásobte a vlastní hodnotou 3krát: s3 = s * s * s
Vypočítat objem Krok 3 Krok 3. Změřte délku jedné strany kostky
V závislosti na vašem zadání může mít kostka tyto informace již v titulcích, nebo budete muset změřit délku stran pravítkem. Mějte na paměti, že jelikož se jedná o krychli, všechny délky stran budou stejné, takže nezáleží na tom, kterou stranu měříte.
Pokud si nejste 100% jisti, že tvar, který máte, je krychle, změřte každou stranu, abyste zjistili, zda má stejnou velikost. Pokud nejsou stejné, musíte pro výpočet objemu bloku použít níže uvedenou metodu
Vypočítat objem Krok 4 Krok 4. Zapojte délky stran do vzorce V = s3 a počítat.
Pokud je například délka stran vaší krychle 5 palců, pak byste vzorec napsali takto: V = (5 palců)3. 5 palců * 5 palců * 5 palců = 125 palců3, to je objem naší kostky!
Výpočet objemu Krok 5 Krok 5. Výsledek vyjádřete v kubických jednotkách
Ve výše uvedeném příkladu jsou boční délky naší krychle měřeny v palcích, takže jednotka objemu je v kubických palcích. Pokud je délka strany například 3 centimetry, objem je V = (3 cm)3nebo V = 27 cm3.
Metoda 2 ze 6: Výpočet objemu bloku
Vypočítat objem Krok 6 Krok 1. Znát tvar bloku
Blok, nazývaný také obdélníkový hranol, je trojrozměrný tvar se šesti stranami, které jsou všechny obdélníkové. Jinými slovy, blok je trojrozměrný obdélníkový tvar nebo tvar krabice.
Kostka je jen speciální blok se všemi stranami stejné velikosti
Výpočet objemu Krok 7 Krok 2. Naučte se vzorec pro výpočet objemu kvádru
Vzorec pro objem kvádru je Objem = délka * šířka * výška nebo V = plt.
Výpočet objemu Krok 8 Krok 3. Najděte délku bloku
Tato délka je nejdelší částí strany paprsku, která je rovnoběžná s povrchem, na který je paprsek umístěn. Tato délka může být již uvedena v diagramu, nebo ji budete muset změřit pravítkem nebo svinovacím metrem.
- Příklad: Délka tohoto bloku je 4 palce, takže p = 4 palce.
- Nedělejte si příliš starosti s tím, na které straně je délka, šířka a výška. Dokud používáte tři různá měření, bude konečný výsledek stejný bez ohledu na to, jak je objednáte.
Výpočet objemu Krok 9 Krok 4. Najděte šířku paprsku
Šířka paprsku je měření kratší strany tělesa rovnoběžně s místem, kde je paprsek umístěn. Opět hledejte na grafu štítek, který udává šířku, nebo si jej změřte sami pomocí pravítka nebo svinovacího metru.
- Příklad: Šířka tohoto bloku je 3 palce, takže l = 3 palce.
- Pokud měříte bloky pomocí pravítka nebo svinovacího metru, ujistěte se, že to děláte pomocí stejných jednotek. Neměřte jednu stranu v palcích a druhou v centimetrech; všechna měření musí používat stejné jednotky!
Výpočet objemu Krok 10 Krok 5. Najděte výšku bloku
Tato výška je vzdálenost od povrchu paprsku umístěného k horní části paprsku. Najděte si v grafu informace o výšce nebo se změřte pomocí pravítka nebo svinovacího metru.
Příklad: Výška tohoto bloku je 6 palců, takže t = 6 palců
Vypočítat objem Krok 11 Krok 6. Zapojte měření kvádru do vzorce objemu a vypočítejte je
Pamatujte, že V = plt.
V našem případě p = 4, l = 3, a t = 6. Proto V = 4 * 3 * 6 nebo 72
Vypočítat objem Krok 12 Krok 7. Nezapomeňte zapsat výsledek v kubických jednotkách
Protože je náš blok vzorku měřen v palcích, musí být jeho objem zapsán jako 72 kubických palců nebo 72 palců3.
Pokud jsou rozměry našeho kvádru: délka = 2 cm, šířka = 4 cm a výška = 8 cm, pak je objem bloku 2 cm * 4 cm * 8 cm nebo 64 cm3.
Metoda 3 ze 6: Výpočet objemu zkumavky
Vypočítat objem Krok 13 Krok 1. Identifikujte tvar trubice
Trubice je trojrozměrný tvar se dvěma stejnými plochými konci, které mají kruhový tvar, a zakřivenou stranou, která je spojuje.
Plechovka je příkladem tuby, stejně jako baterie AA nebo AAA
Výpočet objemu Krok 14 Krok 2. Zapamatujte si vzorec pro objem válce
Chcete -li vypočítat objem válce, potřebujete znát výšku a poloměr základní kružnice (vzdálenost od středu kruhu k okrajům) v horní a dolní části. Vzorec je V = r2t, kde V je objem, r je poloměr základní kružnice, t je výška a je konstantní hodnotou pí.
- U některých problémů s geometrií bude odpověď asi pí, ale ve většině případů můžeme zaokrouhlit pí na 3, 14. Potvrďte to u svého instruktora, abyste zjistili, kterému dává přednost.
- Vzorec pro zjištění objemu válce je ve skutečnosti velmi podobný vzorci pro objem kvádru: pouze vynásobíte výšku tvaru povrchovou plochou základny. V kvádrovém vzorci je tato povrchová plocha p * l, zatímco pro válec je r2tj. plocha kruhu o poloměru r.
Vypočítat objem Krok 15 Krok 3. Najděte základní poloměr
Pokud je to uvedeno v diagramu, použijte hodnotu. Pokud je místo poloměru uveden průměr, stačí rozdělit 2 a zjistit hodnotu poloměru (d = 2r).
Výpočet objemu Krok 16 Krok 4. Změřte objekt, pokud není uveden poloměr
Uvědomte si, že přesné měření trubice může být docela obtížné. Jedním ze způsobů je změřit spodní část trubice směřující nahoru pomocí pravítka nebo měřicí pásky. Udělejte vše pro to, abyste změřili šířku válce v jeho nejširším místě, a vydělte 2, abyste našli poloměr.
- Další možností měření obvodu trubice (vzdálenosti kolem ní) je použít svinovací metr nebo kousek provázku, který můžete označit a změřit délku pomocí pravítka. Poté připojte toto měření do vzorce C (obvod) = 2πr. Vydělte obvod 2π (6,28) a získáte poloměr.
- Pokud je například měřený obvod 8 palců, pak je poloměr 1,27 palce.
- Pokud opravdu potřebujete přesná měření, můžete pomocí obou metod zajistit, aby vaše měření byla stejná. Pokud ne, zkontrolujte obojí. Metoda obvodu obvykle poskytuje přesnější výsledky.
Výpočet objemu Krok 17 Krok 5. Vypočítejte plochu základního kruhu
Zapojte hodnotu základního poloměru do vzorce r2. Poté jedenkrát vynásobte poloměr sám a výsledek znovu vynásobte. Jako příklad:
- Pokud je poloměr vašeho kruhu 4 palce, pak je základní plocha A = 42.
- 42 = 4 * 4 nebo 16. 16 * (3,14) = 50,24 palce2
- Pokud je místo poloměru uveden průměr základny, pamatujte, že d = 2r. Poloměr musíte rozdělit na polovinu.
Vypočítejte objem Krok 18 Krok 6. Najděte výšku trubky
Jedná se o vzdálenost mezi oběma polovinami kruhu nebo o vzdálenost od povrchu, na kterém je trubice umístěna. Na diagramu vyhledejte štítek označující výšku tuby nebo ji změřte pravítkem nebo svinovacím metrem.
Vypočítat objem Krok 19 Krok 7. Vynásobením plochy základny výškou válce najděte objem
Nebo můžete jeden krok přeskočit a zadat hodnoty rozměrů trubek do vzorce V = r2t. Pro náš příklad s trubkou, která má poloměr 4 palce a výšku 10 palců:
- V = 4210
- 42 = 50, 24
- 50.24 * 10 = 502, 4
- V = 502, 4
Vypočítejte objem Krok 20 Krok 8. Nezapomeňte uvést svoji odpověď v krychlových jednotkách
Naše zkumavka se vzorky se měří v palcích, takže její objem musí být vyjádřen v kubických palcích: V = 502,4 palce3. Pokud je náš válec měřen v centimetrech, pak bude jeho objem vyjádřen v kubických centimetrech (cm3).
Metoda 4 ze 6: Výpočet objemu běžné pyramidy
Vypočítat objem Krok 21 Krok 1. Pochopte, co je to pravidelná pyramida
Pyramida je trojrozměrný tvar s mnohoúhelníkem jako základnou a bočními stranami, které se spojují v ose (vrchol pyramidy). Pravidelná pyramida je pyramida, kde základnou je standardní mnohoúhelník, což znamená, že všechny strany mnohoúhelníku mají stejnou délku a všechny úhly jsou stejné.
- Obvykle si myslíme, že pyramida má čtvercovou základnu se stranami, které kulminují do bodu, ale ve skutečnosti může mít základna pyramidy 5, 6 nebo dokonce 100 stran!
- Pyramidě s kruhovou základnou se říká kužel, o kterém bude řeč v další metodě.
Výpočet objemu Krok 22 Krok 2. Naučte se vzorec pro výpočet objemu běžné pyramidy
Tento vzorec je V = 1/3bt, kde b je plocha základny pyramidy (tvar mnohoúhelníku pod ní) a t je výška pyramidy nebo svislá vzdálenost od základny k vrcholu.
Vzorec pro objem pravé pyramidy je stejný, kde vrchol je přímo nad středem základny, a pro šikmou pyramidu, kde vrchol není uprostřed
Výpočet objemu Krok 23 Krok 3. Vypočítejte základní plochu
Vzorec bude záviset na počtu stran, které má základna pyramidy. V pyramidě v našem diagramu je základna čtverec se stranami dlouhými 6 palců. Pamatujte, že vzorec pro plochu čtverce je A = s2, kde s je délka strany. Takže pro tuto pyramidu je základní plocha (6 palců) 2nebo 36 palců2.
- Vzorec pro oblast trojúhelníku je: A = 1/2bt, kde b je základna trojúhelníku a t je výška.
- Plochu standardního mnohoúhelníku najdete pomocí vzorce A = 1/2pa, kde A je plocha, p je obvod tvaru a a je apothem, neboli vzdálenost od středu obrazce ke středu jedné z jeho stran. Toto je složitější výpočet, kterému se v tomto článku nebudeme věnovat, ale můžete navštívit článek Výpočet plochy mnohoúhelníku, kde se dozvíte pár dobrých pokynů, jak jej používat. Nebo můžete tento proces zjednodušit a vyhledat polygonovou kalkulačku online.
Vypočítat objem Krok 24 Krok 4. Zjistěte výšku pyramidy
Ve většině případů to bude znázorněno na diagramu. V našem případě je výška pyramidy 10 palců.
Vypočítat objem Krok 25 Krok 5. Vynásobte plochu základny pyramidy její výškou a vydělte 3, abyste našli objem
Nezapomeňte, že objemový vzorec je V = 1/3bt. V našem příkladu pyramida, která má plochu 36 a výšku 10, je objem: 36 * 10 * 1/3 nebo 120.
Pokud použijeme jinou pyramidu, například takovou, která má základnu ve tvaru pentaga o ploše 26 a výšce 8, bude objem: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33
Vypočítat objem Krok 26 Krok 6. Nezapomeňte uvést svou odpověď v krychlových jednotkách
Měření v našem příkladu pyramidy jsou v palcích, takže objem musí být vyjádřen v kubických palcích, 120. Pokud je naše pyramida měřena v metrech, musí být objem vyjádřen v metrech krychlových (m3).
Metoda 5 ze 6: Výpočet objemu kužele
Vypočítat objem Krok 27 Krok 1. Naučte se tvar kužele
Kužel je trojrozměrný tvar s kruhovou základnou a vrcholem. Další způsob, jak o tom uvažovat, je myslet na kužel jako na pyramidu s kruhovou základnou.
Pokud je vrchol kužele přesně ve středu kruhu, pak je kužel „skutečným kuželem“. Pokud vrchol není přesně uprostřed, pak se kuželu říká „šikmý kužel“. Naštěstí je vzorec pro výpočet objemu obou stejný
Vypočítat objem Krok 28 Krok 2. Osvojte si vzorec pro výpočet objemu kužele
Vzorec je V = 1/3πr2t, kde r je poloměr kruhové základny kužele, kde t je výška a je konstantní pí, která je zaokrouhlena nahoru na 3,14.
r. část2 z vzorce odkazuje na oblast základny kruhového kužele. Vzorec pro objem kužele je tedy 1/3bt, stejně jako vzorec pro objem pyramidy v předchozí metodě!
Vypočítat objem Krok 29 Krok 3. Vypočítejte plochu kruhové základny kužele
Chcete -li to provést, musíte znát poloměr, který by již měl být zapsán ve vašem diagramu. Pokud dostanete pouze průměr, vydělte tuto hodnotu 2, protože průměr je 2krát větší než poloměr (d = 2r). Poté zadejte hodnotu poloměru do vzorce A = r2 pro výpočet plochy.
- V příkladu v diagramu je poloměr základny kužele 3 palce. Když to zapojíme do vzorce, pak: A = 32.
- 32 = 3 *3, nebo 0, takže A = 9π.
- A = 28, 27 palců2
Vypočítat objem Krok 30 Krok 4. Zjistěte výšku kužele
Toto je svislá vzdálenost mezi základnou kužele a jeho vrcholem. V našem případě je výška kužele 5 palců.
Vypočítat objem Krok 31 Krok 5. Vynásobte výšku kužele plochou základny
V našem případě je tato oblast 28,27 palce2 a výška je 5 palců, takže bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.
Vypočítat objem Krok 32 Krok 6. Nyní vynásobte výsledek 1/3 (nebo můžete dělit 3), abyste našli objem kužele
Ve výše uvedeném kroku jsme vypočítali objem válce, který by se vytvořil, kdyby se stěny kužele rozšířily přímo do jiného kruhu místo zúžení do bodu. Vydělením 3 získáte objem samotného kužele.
- V našem případě 141, 35 * 1/3 = 47, 12, toto je objem kužele.
- Alternativně 1/3π325 = 47, 12
Vypočítat objem Krok 33 Krok 7. Nezapomeňte uvést svoji odpověď v krychlových jednotkách
Náš kužel je měřen v palcích, takže jeho objem musí být vyjádřen v kubických palcích: 47,12 palců3.
Metoda 6 ze 6: Výpočet objemu míče
Vypočítejte objem Krok 34 Krok 1. Zjistěte tvar
Koule je dokonale sférický trojrozměrný objekt, kde každý bod na jeho povrchu je ve stejné vzdálenosti od jeho středu. Jinými slovy, to, co je zde zahrnuto, jsou sférické objekty.
Vypočítat objem Krok 35 Krok 2. Naučte se vzorec pro objem koule
Vzorec pro objem této koule je V = 4/3πr3 (čti: „čtyři třetiny pí r-krychle“) kde r je poloměr koule a je kolíková konstanta (3, 14).
Vypočítejte objem Krok 36 Krok 3. Najděte poloměr koule
Pokud je daný poloměr, pak nalezení r je jen snadná záležitost. Pokud je uveden průměr, musíte vydělit hodnotu 2, abyste našli hodnotu poloměru. Například poloměr koule v našem diagramu je 3 palce.
Vypočítejte objem Krok 37 Krok 4. Změřte míč, pokud není znám poloměr
Pokud potřebujete změřit sférický předmět (například tenisový míček), abyste zjistili jeho poloměr, vezměte si nejprve dostatečně velký provázek, který předmět omotá. Poté smyčku obtočte kolem objektu v nejširším místě a označte, kde se struna opět dotýká konce. Poté změřte řetězec pomocí pravítka a zjistěte jeho vnější obvod. Vydělte tuto hodnotu 2π nebo 6, 28 a získáte poloměr koule.
- Pokud například změříte kouli a najdete obvodový bod 18 palců, vydělíte 6,28 a získáte poloměr 2,87 palce.
- Měření sférických objektů může být trochu ošidné, proto se ujistěte, že měříte 3 různé časy a vezmete průměr (sečtete všechna tři měření a poté vydělíte 3), abyste získali co nejpřesnější hodnotu.
- Pokud jsou například vaše rozměry vnějšího obvodu 18 palců, 17,75 palců a 18,2 palců, sečtěte je všechny (18 + 17,5 + 18, 2 = 53,95) a výsledek vydělte 3 (53,95/3 = 17, 98). Tento průměr použijte při výpočtech objemu.
Vypočítejte objem Krok 38 Krok 5. Poloměrem krychle najděte r3.
To znamená, že ho musíte vynásobit samotným číslem 3krát, takže r3 = r * r * r. V našem případě r = 3, takže r3 = 3 * 3 * 3 nebo 27.
Vypočítejte objem Krok 39 Krok 6. Nyní znásobte svoji odpověď 4/3
Můžete použít kalkulačku, nebo ji můžete vypočítat ručně a zjednodušit zlomek. V našem případě vynásobení 27 4/3 = 108/3 nebo 36.
Vypočítejte objem Krok 40 Krok 7. Vynásobte výsledek tak, abyste našli objem koule
Posledním krokem při výpočtu objemu je vynásobení výsledku hodnotou. Zaokrouhlení na dvě číslice je obvykle dostačující pro většinu matematických úloh (pokud váš učitel neřekne jinak), takže vynásobte 3, 14 a najdete odpověď.
V našem případě 36 * 3, 14 = 113, 09
Vypočítejte objem Krok 41 Krok 8. Vyjádřete svou odpověď v krychlových jednotkách
V našem případě se poloměr koule měří v palcích, takže naše skutečná odpověď je V = 113,09 kubických palců (113,09 palců).3).
