V dobách, kdy byly vynalezeny kalkulačky, museli studenti a profesoři vypočítat odmocniny ručně. Bylo vyvinuto několik různých způsobů, jak tento obtížný proces překonat. Některé způsoby poskytují hrubý odhad a jiné přesnou hodnotu. Chcete -li se dozvědět, jak najít odmocninu čísla pomocí jednoduchých operací, začněte v kroku 1 níže.
Krok
Metoda 1 ze 2: Použití primární faktorizace
Krok 1. Rozdělte své číslo na dokonalé čtvercové faktory
Tato metoda používá faktory čísla k nalezení odmocniny čísla (v závislosti na čísle může být odpovědí přesné číslo nebo blízká aproximace). Faktory čísla jsou množinou dalších čísel, která po vynásobení toto číslo vytvoří. Můžete například říci, že faktory 8 jsou 2 a 4, protože 2 × 4 = 8. Mezitím jsou dokonalá čtverce celá čísla, která jsou součinem jiných celých čísel. Například 25, 36 a 49 jsou perfektní čtverce, protože jsou 52, 62a 72. Jak jste asi uhodli, dokonalé čtvercové faktory jsou faktory, které jsou také dokonalými čtverci. Chcete -li začít hledat odmocninu pomocí primární faktorizace, zkuste nejprve zjednodušit své číslo na jeho dokonalé odmocniny.
- Použijme příklad. Chceme odmocninu ze 400 najít ručně. Nejprve rozdělíme číslo na jeho dokonalé čtvercové faktory. Protože 400 je násobek 100, víme, že 400 je dělitelné 25 - perfektní čtverec. Při rychlém rozdělení stínů zjistíme, že 400 děleno 25 se rovná 16. Shodou okolností je 16 také dokonalým čtvercem. Dokonalé čtvercové faktory 400 jsou tedy 25 a 16 protože 25 × 16 = 400.
- Můžeme to napsat jako: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Krok 2. Najděte odmocninu svých dokonalých čtvercových faktorů
Vlastnost násobení odmocniny uvádí, že pro jakékoli číslo a a b platí Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Kvůli této vlastnosti nyní můžeme najít druhou odmocninu našich dokonalých čtvercových faktorů a vynásobit je, abychom dostali naši odpověď.
-
V našem příkladu najdeme odmocniny 25 a 16. Viz níže:
- Kořen (25 × 16)
- Kořen (25) × Kořen (16)
-
5 × 4 =
Krok 20.
Krok 3. Pokud vaše číslo nelze dokonale započítat, zjednodušte svou odpověď na jeho nejjednodušší formu
V reálném životě často čísla, která potřebujete k nalezení odmocniny, nejsou příjemná celá čísla se zjevnými dokonalými odmocninami jako 400. V těchto případech je možné, že nemůžeme najít správnou odpověď. Jako celé číslo. Když však najdete tolik dokonalých odmocnin, kolik jen můžete najít, můžete najít odpověď ve formě druhé odmocniny, která je menší, jednodušší a snáze se počítá. Chcete -li to provést, snižte počet na kombinaci dokonalých čtvercových faktorů a nedokonalých čtvercových faktorů a poté zjednodušte.
-
Jako příklad použijeme odmocninu ze 147. 147 není součin dvou dokonalých čtverců, takže nemůžeme získat přesnou celočíselnou hodnotu, jak je uvedeno výše. 147 je však součin jednoho dokonalého čtverce a jiného čísla - 49 a 3. Tuto informaci můžeme použít k napsání naší odpovědi v nejjednodušší podobě takto:
- Kořen (147)
- = Kořen (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Root (3)
Krok 4. V případě potřeby odhadněte
Když je vaše odmocnina v nejjednodušší formě, je obvykle docela snadné získat hrubý odhad číselné odpovědi uhádnutím hodnoty zbývající odmocniny a její vynásobením. Jedním ze způsobů, jak vést svůj odhad, je hledat perfektní čtverce, které jsou větší a menší než číslo v odmocnině. Všimnete si, že desetinná hodnota čísla v odmocnině je mezi dvěma čísly, takže můžete odhadnout hodnotu mezi těmito dvěma čísly.
-
Vraťme se k našemu příkladu. protože 22 = 4 a 12 = 1, víme, že kořen (3) je mezi 1 a 2 - pravděpodobně blíže 2 než 1. Odhadujeme 1, 7 7 × 1, 7 = 11, 9. Pokud zkontrolujeme naši odpověď na kalkulačce, uvidíme, že naše odpověď je docela blízko skutečné odpovědi, která je 12, 13.
To platí i pro větší čísla. Root (35) lze například aproximovat mezi 5 a 6 (možná blíže k 6). 52 = 25 a 62 = 36. 35 je mezi 25 a 36, takže druhá odmocnina musí být mezi 5 a 6. Protože 35 je pouze jedna menší než 36, můžeme s jistotou říci, že druhá odmocnina je o něco menší než 6. Kontrola pomocí kalkulačky bude dej nám odpověď je asi 5, 92 - máme pravdu.
Krok 5. Alternativně můžete jako první krok snížit počet na nejméně běžné faktory
Hledání faktorů dokonalých čtverců není nutné, pokud můžete snadno určit primární faktory čísla (faktory, které jsou také prvočísly). Napište své číslo z hlediska nejméně obvyklých faktorů. Poté najděte páry prvočísel, které odpovídají vašim faktorům. Když najdete dva hlavní faktory, které jsou stejné, odeberte tato dvě čísla ze odmocniny a jedno z těchto čísel umístěte mimo odmocninu.
-
Pomocí této metody například najděte druhou odmocninu 45. Víme, že 45 × 5, a víme, že pod 9 = 3 × 3. Můžeme tedy napsat druhou odmocninu z hlediska těchto faktorů: Sqrt (3 × 3 × 5). Stačí odebrat obě 3 a dát jednu 3 mimo odmocninu, aby se vaše odmocnina zjednodušila na nejjednodušší formu: (3) Kořen (5).
Odtud budeme snadno odhadovat.
-
Jako poslední příklad problému zkusme najít druhou odmocninu 88:
- Kořen (88)
- = Kořen (2 × 44)
- = Kořen (2 × 4 × 11)
- = Kořen (2 × 2 × 2 × 11). V odmocnině máme nějaké 2. Protože 2 je prvočíslo, můžeme dvojici 2 odstranit a jednu z nich vložit mimo odmocninu.
-
= Naše druhá odmocnina v nejjednodušší formě je (2) Sqrt (2 × 11) nebo (2) Kořen (2) Kořen (11).
Odtud můžeme odhadnout Sqrt (2) a Sqrt (11) a najít přibližnou odpověď, jak chceme.
Metoda 2 ze 2: Ruční nalezení odmocniny
Použití algoritmu dlouhé divize
Krok 1. Rozdělte číslice svého čísla do dvojic
Tato metoda používá proces podobný dlouhému dělení k nalezení přesné odmocniny číslice po číslici. I když to není povinné, může být pro vás snazší provést tento proces, pokud své pracoviště a svá čísla vizuálně uspořádáte do snadno zpracovatelných částí. Nejprve nakreslete svislou čáru rozdělující vaši pracovní oblast na dvě části, poté nakreslete kratší vodorovnou čáru poblíž pravého horního rohu a rozdělte pravou část na menší horní část a větší spodní část. Dále oddělte své číslice do dvojic, počínaje desetinnou čárkou. Podle tohoto pravidla se například 79 520 789 182 47897 změní na „7 95 20 78 91 82. 47 89 70“. Napište své číslo vlevo nahoře.
Pokusme se například vypočítat druhou odmocninu 780, 14. Nakreslete dvě čáry, jak rozdělit své pracoviště, jak je uvedeno výše, a vlevo nahoře napište „7 80. 14“. Nezáleží na tom, jestli je číslo úplně vlevo jedno číslo a ne dvojice čísel. Svou odpověď napíšete (odmocnina 780, 14) vpravo nahoře
Krok 2. Najděte úplně celé číslo, jehož čtvercová hodnota je menší nebo rovna číslu (nebo dvojici čísel) zcela vlevo
Začněte úplně vlevo od svého čísla, a to jak dvojice čísel, tak jednotlivá čísla. Najděte největší dokonalý čtverec, který je menší nebo roven tomuto číslu, pak najděte odmocninu tohoto dokonalého čtverce. Toto číslo je n. Napište n v pravém horním rohu a napište čtverec n v dolním pravém kvadrantu.
V našem případě je zcela vlevo číslo 7. Protože víme, že 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, můžeme říci, že n = 2, protože 2 je největší celé číslo, jehož čtvercová hodnota je menší nebo rovna 7. Napište 2 do pravého horního kvadrantu. Toto je první číslice naší odpovědi. Napište 4 (čtvercová hodnota 2) do pravého dolního kvadrantu. Toto číslo je důležité pro další krok.
Krok 3. Odečtěte číslo, které jste právě vypočítali, z páru zcela vlevo
Stejně jako u dlouhého dělení je dalším krokem odečtení hodnoty čtverce, který jsme právě našli, od části, kterou jsme právě analyzovali. Napište toto číslo pod první část a odečtěte jej, pod něj napište svou odpověď.
-
V našem příkladu zapíšeme 4 pod 7 a poté odečteme. Toto odečtení dává odpověď
Krok 3..
Krok 4. Vyhoďte další pár
Posuňte dolů další část čísla, pro které hledáte druhou odmocninu, vedle hodnoty odčítání, kterou jste právě našli. Dále vynásobte číslo v pravém horním kvadrantu dvěma a odpověď napište do pravého dolního kvadrantu. Vedle čísla, které jste si právě zapsali, nechte místo pro problém s násobením, který provedete v dalším kroku, a to tak, že napíšete „“_ × _ = “'.
V našem příkladu je další dvojice našich čísel „80“. Napište „80“vedle 3 do levého kvadrantu. Dále vynásobte číslo vpravo nahoře dvěma. Toto číslo je 2, takže 2 × 2 = 4. Do pravého dolního kvadrantu napište „4“a poté za ním _×_=.
Krok 5. Vyplňte mezery v pravém kvadrantu
Musíte vyplnit všechna prázdná místa, která jste právě napsali, v pravém kvadrantu stejným celým číslem. Toto celé číslo musí být největší celé číslo, díky kterému je produkt v pravém kvadrantu menší nebo roven číslu aktuálně vlevo.
V našem případě vyplníme prázdná místa číslem 8, což má za následek 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Tato hodnota je větší než 384. 8 je tedy příliš velké, ale 7 může fungovat. Napište 7 na prázdná místa a vyřešte: 4 (7) × 7 = 329. 7 je správné číslo, protože 329 je menší než 380. Napište 7 do pravého horního kvadrantu. Toto je druhá číslice v odmocnině 780, 14
Krok 6. Odečtěte číslo, které jste právě vypočítali, od čísla nyní vlevo
Pokračujte v řetězci odčítání pomocí metody dlouhého dělení. Vezměte součin problému v pravém kvadrantu a odečtěte jej od čísla, které je nyní vlevo, a níže pište své odpovědi.
V našem příkladu odečteme 329 od 380, což dává výsledek 51.
Krok 7. Opakujte krok 4
Odvodte další část čísla, pro které hledáte odmocninu. Když ve svém čísle dosáhnete desetinné čárky, napište desetinnou čárku do své odpovědi v pravém horním kvadrantu. Poté vynásobte číslo v pravém horním rohu číslem 2 a napište jej vedle prázdného problému s násobením ("_ × _"), jak je uvedeno výše.
V našem příkladu, protože se nyní zabýváme desetinnou čárkou v 780, 14, napište desetinnou čárku za naši aktuální odpověď vpravo nahoře. Dále spusťte další pár (14) v levém kvadrantu. Dvakrát číslo v pravém horním rohu (27) se rovná 54, takže do pravého dolního kvadrantu napište „54 _ × _ =“
Krok 8. Opakujte kroky 5 a 6
Najděte největší číslici, kterou chcete vyplnit prázdná místa napravo, čímž získáte odpověď menší nebo rovnou číslu aktuálně vlevo. Potom problém vyřešte.
V našem případě 549 × 9 = 4941, což je číslo menší nebo rovno číslu nalevo (5114). 549 × 10 = 5490 je příliš velký, takže 9 je vaše odpověď. Napište 9 jako další číslici v pravém horním kvadrantu a odečtěte produkt od čísla vlevo: 5114 minus 4941 se rovná 173
Krok 9. Chcete -li pokračovat v počítání číslic, snižte dvojici nul vlevo a opakujte kroky 4, 5 a 6
Pro větší přesnost pokračujte v tomto procesu a najděte stovky, tisíce a další místa ve své odpovědi. Pokračujte v používání tohoto cyklu, dokud nenajdete požadované desetinné místo.
Pochopení procesu
Krok 1. Představte si číslo, ze kterého jste vypočítali druhou odmocninu, jako plochu S čtverce
Protože plocha čtverce je P2 kde P je délka jedné ze stran, pak se pokusem najít druhou odmocninu vašeho čísla ve skutečnosti pokoušíte vypočítat délku P té strany čtverce.
Krok 2. Určete proměnné písmen pro každou číslici vaší odpovědi
Nastavte proměnnou A jako první číslici P (druhá odmocnina, kterou se snažíme vypočítat). B bude druhá číslice, C třetí číslice atd.
Krok 3. Určete proměnné písmen pro každou část vašeho počátečního čísla
Nastavit proměnnou SA pro první dvojici číslic v S (vaše počáteční hodnota), Sb pro druhý pár číslic atd.
Krok 4. Pochopte vztah mezi touto metodou a dlouhým dělením
Tato metoda hledání odmocniny je v zásadě problém s dlouhým dělením, který rozdělí vaše počáteční číslo na druhou odmocninu, takže dostanete druhou odmocninu odpovědi. Stejně jako v případě dlouhého dělení vás v každém kroku zajímá pouze další číslice. Tímto způsobem vás zajímají pouze další dvě číslice v každém kroku (což je další číslice v každém kroku pro druhou odmocninu).
Krok 5. Najděte největší číslo, jehož čtvercová hodnota je menší nebo rovna SA.
První číslice A v naší odpovědi je největší celé číslo, jehož čtvercová hodnota nepřesahuje SA (tj. A tak, že A² Sa <(A+1) ²). V našem příkladu SA = 7 a 2² 7 <3², takže A = 2.
Všimněte si toho, že pokud například chcete rozdělit 88962 na 7 pomocí dlouhého dělení, první kroky jsou téměř stejné: uvidíte první číslici 88962 (což je 8) a hledáte největší číslici který při vynásobení 7 je menší nebo roven 8 V zásadě hledáte d tak, aby 7 × d 8 <7 × (d+1). V tomto případě se d bude rovnat 1
Krok 6. Představte si hodnotu čtverce, na jehož ploše se chystáte začít pracovat
Vaše odpověď, druhá odmocnina vašeho počátečního čísla, je P, která popisuje délku čtverce s oblastí S (vaše počáteční číslo). Vaše známky pro A, B, C představují číslice v hodnotě P. Dalším způsobem, jak to říci, je 10A + B = P (pro dvoucifernou odpověď), 100A + 10B + C = P (pro tři číslicová odpověď) atd.
V našem příkladu (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pamatujte, že 10A+B představuje naši odpověď, P, s B v poloze jedničky a A v poloze desítek. Například s A = 1 a B = 2, pak 10A+B se rovná 12. (10A+B) ² je celková plocha náměstí, zatímco 100A² je plocha největšího náměstí na něm, B² je plocha nejmenšího čtverce v něm, a 10A × B je plocha dvou zbývajících obdélníků. Tímto dlouhým a spletitým procesem najdeme celkovou plochu čtverce sečtením ploch čtverců a obdélníků uvnitř.
Krok 7. Odečtěte A² od SA.
Snižte jeden pár číslic (S.b) S. Hodnota SA Sb blízko k celkové ploše čtverce, kterou jste právě použili k odečtení většího vnitřního čtverce. Zbytek lze považovat za číslo N1, které jsme získali v kroku 4 (v našem příkladu N1 = 380). N1 se rovná 2krát: 10A × B + B² (plocha dvou obdélníků plus plocha menšího čtverce).
Krok 8. Najděte N1 = 2 × 10A × B + B², což je také zapsáno jako N1 = (2 × 10A + B) × B
V našem příkladu již znáte N1 (380) a A (2), takže musíte najít B. B s největší pravděpodobností není celé číslo, takže opravdu potřebujete najít největší celé číslo B takové, že (2 × 10A + B) × B N1. Takže máte: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Krok 9. Dokončete
Chcete -li tuto rovnici vyřešit, vynásobte A 2, posuňte výsledek do polohy desítek (ekvivalent násobení 10), vložte B do polohy jedniček a vynásobte číslo B. Jinými slovy vyřešte (2 × 10A + B) × B. To je přesně to, co děláte, když v kroku 4 napíšete „N_ × _ =“(s N = 2 × A) do pravého dolního kvadrantu. V kroku 5 najdete největší celé číslo B, které odpovídá číslo pod ním tak, aby (2 × 10A + B) × B N1.
Krok 10. Odečtěte oblast (2 × 10A + B) × B od celkové plochy
Výsledkem tohoto odečtení je oblast S- (10A+B) ², která nebyla vypočtena (a která bude použita k výpočtu další číslice stejným způsobem).
Krok 11. Chcete -li vypočítat další číslici C, opakujte postup
Spusťte další pár (SC) z S získáte N2 nalevo a najděte největší C tak, abyste měli (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (ekvivalent zapsání dvakrát dvouciferného čísla „AB“následovaného "_ × _ =". Najděte největší shodnou číslici v mezerách, která dává odpověď menší nebo rovnou N2, jako dříve.
Tipy
- Přesunutí desetinné čárky o násobek dvou číslic v čísle (násobek 100) znamená přesun desetinné čárky o násobek jedné číslice v odmocnině (násobek 10).
- V tomto případě lze za „zbytek“považovat 1,73: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Tuto metodu lze použít pro jakoukoli základnu, nejen pro základnu 10 (desetinná).
- Můžete použít kalkul, který je pro vás pohodlnější. Někteří lidé píší výsledek nad počáteční číslo.
- Alternativním způsobem použití opakovaných zlomků je dodržet tento vzorec: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Například pro výpočet odmocniny 780, 14 je celé číslo, jehož druhá mocnina je nejbližší 780, 14, 28, takže z = 780, 14, x = 28 a y = -3, 86. Zadávání hodnot a výpočet odhadů pouze pro x + y/(2x) poskytne (nejjednodušeji) 78207/20800 nebo asi 27 931 (1); příští termín, 4374188/156607 nebo přibližně 27, 930986 (5). Každý výraz přidává k přesnosti předchozího počtu desetinných míst asi 3 desetinná místa.
