V „systému rovnic“jste požádáni o řešení dvou nebo více rovnic současně. Když mají dvě rovnice dvě různé proměnné, například x a y, může se řešení na první pohled zdát obtížné. Naštěstí, jakmile víte, co musíte udělat, můžete jednoduše použít své algebraické schopnosti (a vědu o výpočtu zlomků) k vyřešení problému. Naučte se také nakreslit tyto dvě rovnice, pokud jste vizuální žák nebo to vyžaduje učitel. Kresby vám pomohou identifikovat učivo nebo zkontrolovat výsledky vaší práce. Tato metoda je však pomalejší než ostatní metody a nelze ji použít pro všechny soustavy rovnic.
Krok
Metoda 1 ze 3: Použití substituční metody
Krok 1. Přesuňte proměnné na opačnou stranu rovnice
Substituční metoda začíná „nalezením hodnoty x“(nebo jakékoli jiné proměnné) v jedné z rovnic. Řekněme například, že rovnice problému je 4x + 2y = 8 a 5x + 3y = 9. Začněte prací na první rovnici. Změňte uspořádání rovnice odečtením 2y na obou stranách. Takže dostanete 4x = 8 - 2 roky.
Tato metoda často používá zlomky na konci. Pokud vás nebaví počítat zlomky, vyzkoušejte níže uvedenou metodu eliminace
Krok 2. Rozdělte obě strany rovnice na „najděte hodnotu x“
Jakmile je výraz x (nebo jakákoli proměnná, kterou používáte) sám na jedné straně rovnice, rozdělte obě strany rovnice koeficienty tak, aby zůstala pouze proměnná. Jako příklad:
- 4x = 8 - 2 roky
- (4x)/4 = (8/4) - (2 roky/4)
- x = 2 - r
Krok 3. Zapojte hodnotu x z první rovnice do druhé rovnice
Nezapomeňte jej zapojit do druhé rovnice, místo do té, na které jste právě pracovali. Nahraďte (nahraďte) proměnnou x ve druhé rovnici. Druhá rovnice má tedy nyní pouze jednu proměnnou. Jako příklad:
- Je známo x = 2 - r.
- Vaše druhá rovnice je 5x + 3y = 9.
- Po záměně proměnné x ve druhé rovnici s hodnotou x z první rovnice dostaneme „2 - y“: 5 (2 - y) + 3y = 9.
Krok 4. Vyřešte zbývající proměnné
Nyní má vaše rovnice pouze jednu proměnnou. Vypočítejte rovnici běžnými algebraickými operacemi a najděte hodnotu proměnné. Pokud se tyto dvě proměnné navzájem ruší, přeskočte rovnou na poslední krok. Jinak získáte hodnotu pro jednu z proměnných:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Pokud tomuto kroku nerozumíte, přečtěte si, jak přidat zlomky.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Krok 5. Pomocí získané odpovědi najděte skutečnou hodnotu x v první rovnici
Ještě nepřestávejte, protože vaše výpočty ještě nejsou hotové. Získanou odpověď musíte vložit do první rovnice, abyste našli hodnotu zbývajících proměnných:
- Je známo y = -2
- Jedna z rovnic v první rovnici je 4x + 2y = 8. (Můžete použít jeden z nich.)
- Nahraďte proměnnou y hodnotou -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Krok 6. Vědět, co dělat, když se tyto dvě proměnné navzájem ruší
Když vstoupíte x = 3 roky+2 nebo podobná odpověď na druhou rovnici, což znamená, že se pokoušíte získat rovnici, která má pouze jednu proměnnou. Někdy prostě dostanete rovnici bez proměnná. Znovu zkontrolujte svou práci a ujistěte se, že jste rovnici jedna vložili (přeuspořádali) do rovnice dvě, místo abyste se vraceli k první rovnici. Pokud jste si jisti, že jste neudělali nic špatného, napište jeden z následujících výsledků:
- Pokud rovnice nemá žádné proměnné a není pravdivá (například 3 = 5), je tento problém nemají odpověď. (Když je toto graficky znázorněno, jsou tyto dvě rovnice rovnoběžné a nikdy se nesetkají.)
- Pokud rovnice nemá žádné proměnné a Opravit, (např. 3 = 3), což znamená, že otázka má neomezené odpovědi. Rovnice jedna je přesně stejná jako rovnice dvě. (V grafu jsou tyto dvě rovnice stejná čára.)
Metoda 2 ze 3: Použití eliminační metody
Krok 1. Najděte vzájemně se vylučující proměnné
Někdy je rovnice v problému již navzájem se rušit při sečtení. Pokud například provedete rovnici 3x + 2y = 11 a 5x - 2y = 13, termíny „+2y“a „-2y“se navzájem zruší a odstraní z rovnice proměnnou „y“. Podívejte se na rovnici v problému a zjistěte, zda existují proměnné, které se navzájem ruší, jako v příkladu. Pokud ne, pokračujte dalším krokem.
Krok 2. Vynásobte rovnici jednou, aby byla odstraněna jedna proměnná
(Tento krok přeskočte, pokud se proměnné již navzájem ruší.) Pokud rovnice nemá proměnné, které by se samy zrušily, změňte jednu z rovnic, aby se mohly navzájem rušit. Podívejte se na následující příklady, abyste jim snadno porozuměli:
- Rovnice v problému jsou 3x - y = 3 a - x + 2y = 4.
- Pojďme změnit první rovnici tak, aby proměnná y navzájem se rušit. (Proměnnou můžete použít X. Výsledná odpověď bude stejná.)
- Variabilní - y v první rovnici musí být odstraněny pomocí + 2 roky ve druhé rovnici. Jak, znásobit - y s 2.
- Vynásobte obě strany rovnice 2, a to následovně: 2 (3x - y) = 2 (3), tak 6x - 2y = 6. Nyní, kmen - 2 roky se navzájem zruší pomocí +2 roky ve druhé rovnici.
Krok 3. Zkombinujte dvě rovnice
Jde o to, přidat pravou stranu první rovnice na pravou stranu druhé rovnice a přidat levou stranu první rovnice na levou stranu druhé rovnice. Pokud je provedena správně, jedna z proměnných se navzájem zruší. Pokusme se pokračovat ve výpočtu z předchozího příkladu:
- Vaše dvě rovnice jsou 6x - 2y = 6 a - x + 2y = 4.
- Sečtěte levé strany obou rovnic: 6x - 2y - x + 2y =?
- Sečtěte pravé strany obou rovnic: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Krok 4. Získejte poslední hodnotu proměnné
Zjednodušte svou složenou rovnici a pracujte se standardní algebrou, abyste získali hodnotu poslední proměnné. Pokud po zjednodušení rovnice neobsahuje žádné proměnné, pokračujte posledním krokem v této části.
V opačném případě získáte hodnotu pro jednu z proměnných. Jako příklad:
- Je známo 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Skupinové proměnné X a y spolu: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Zjednodušte rovnici: 5x = 10
- Najděte hodnotu x: (5x)/5 = 10/5, získat x = 2.
Krok 5. Najděte hodnotu jiné proměnné
Našli jste hodnotu jedné proměnné, ale co druhá? Zapojte svou odpověď do jedné z rovnic a najděte hodnotu zbývající proměnné. Jako příklad:
- Je známo x = 2, a jedna z rovnic v problému je 3x - y = 3.
- Nahraďte proměnnou x hodnotou 2: 3 (2) - y = 3.
- Najděte hodnotu y v rovnici: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, tak 6 = 3 + r
- 3 = r
Krok 6. Vědět, co dělat, když se obě proměnné navzájem ruší
Někdy kombinace dvou rovnic vede k rovnici, která nedává smysl nebo vám nepomůže problém vyřešit. Zkontrolujte svoji práci a pokud jste si jisti, že jste neudělali nic špatného, napište jednu z následujících dvou odpovědí:
- Pokud kombinovaná rovnice nemá žádné proměnné a není pravdivá (například 2 = 7), je tento problém nemají odpověď. Tato odpověď platí pro obě rovnice. (Když je toto graficky znázorněno, jsou tyto dvě rovnice rovnoběžné a nikdy se nesetkají.)
- Pokud kombinovaná rovnice nemá žádné proměnné a Opravit, (např. 0 = 0), což znamená, že otázka má neomezené odpovědi. Tyto dvě rovnice jsou si navzájem podobné. (V grafu jsou tyto dvě rovnice stejná čára.)
Metoda 3 ze 3: Nakreslete graf rovnic
Krok 1. Tuto metodu proveďte pouze na pokyn
Pokud nepoužíváte počítač nebo grafickou kalkulačku, může tato metoda poskytnout pouze přibližné odpovědi. Váš učitel nebo učebnice vám může říci, abyste pomocí této metody navykli na kreslení rovnic jako čar. Tuto metodu lze také použít ke kontrole odpovědi na jednu z výše uvedených metod.
Hlavní myšlenkou je, že musíte popsat dvě rovnice a najít jejich průsečík. Hodnota x a y v tomto průsečíku je odpovědí na problém
Krok 2. Najděte hodnoty y obou rovnic
Nekombinujte obě rovnice a změňte každou rovnici tak, aby byl formát „y = _x + _“. Jako příklad:
- Vaše první rovnice je 2x + y = 5. Změnit y = -2x + 5.
- Vaše první rovnice je - 3x + 6y = 0. Změnit 6y = 3x + 0a zjednodušit na y = x + 0.
- Pokud jsou vaše dvě rovnice úplně stejné, celá přímka je „průsečíkem“obou rovnic. Napsat neomezené odpovědi jako odpověď.
Krok 3. Nakreslete souřadnice
Na milimetrový papír nakreslete svislou čáru „osy y“a vodorovnou čáru „osy x“. Počínaje bodem, kde se obě osy protínají (0, 0), zapište si číselné štítky 1, 2, 3, 4 atd. Postupně směřujte nahoru na osu y a ukazujte doprava na osu x. Poté si zapište číselné štítky -1, -2 atd. Postupně směřujte dolů na osu y a ukazujte doleva na osu x.
- Pokud nemáte milimetrový papír, použijte pravítko a ujistěte se, že mezery mezi jednotlivými čísly jsou přesně stejné.
- Pokud používáte velká čísla nebo desetinná místa, doporučujeme změnit měřítko grafu (např. 10, 20, 30 nebo 0, 1, 0, 2, 0, 3 místo 1, 2, 3).
Krok 4. Nakreslete bod průsečíku y pro každou rovnici
Pokud je rovnice ve tvaru y = _x + _, můžete začít kreslit graf tak, že vytvoříte bod, kde se rovnice protíná s osou y. Hodnota y je vždy stejná jako poslední číslo v rovnici.
- Pokračování předchozího příkladu, první řádek (y = -2x + 5) protíná osu y na
Krok 5.. druhý řádek (y = x + 0) protíná osu y na 0. (Tyto body jsou do grafu zapsány jako (0, 5) a (0, 0).)
- Pokud je to možné, nakreslete první a druhou čáru různými barevnými pery nebo tužkami.
Krok 5. Pomocí svahu pokračujte v linii
Ve formátu rovnic y = _x + _, číslo před x označuje „úroveň sklonu“čáry. Pokaždé, když se x zvýší o jednu, hodnota y se zvýší o počet úrovní sklonu. Tyto informace použijte k nalezení bodů pro každý řádek v grafu, když x = 1. (Můžete také zadat x = 1 do každé rovnice a zjistit hodnotu y.)
- Pokračování předchozího příkladu, řádku y = -2x + 5 má sklon - 2. V bodě x = 1 se čára pohybuje dolů o 2 od bodu x = 0. Nakreslete přímku spojující (0, 5) s (1, 3).
- Čára y = x + 0 má sklon ½. Při x = 1 se čára pohybuje jízda od bodu x = 0. Nakreslete čáru spojující (0, 0) s (1,).
- Pokud mají dvě čáry stejný sklon, ti dva se nikdy neprotnou. Tento systém rovnic tedy nemá odpověď. Napsat žádná odpověď jako odpověď.
Krok 6. Pokračujte ve spojování čar, dokud se tyto dvě čáry neprotnou
Přestaňte pracovat a podívejte se na svůj graf. pokud se tyto dvě čáry překřížily, pokračujte dalším krokem. Pokud ne, rozhodněte se podle polohy svých dvou řádků:
- Pokud se tyto dvě čáry k sobě přibližují, pokračujte ve spojování bodů svých pruhů.
- Pokud se tyto dvě čáry od sebe vzdálí, vraťte se zpět a spojte body v opačných směrech, počínaje x = 1.
- Pokud jsou obě čáry velmi daleko od sebe, zkuste přeskočit a spojit body vzdálenější, například x = 10.
Krok 7. Najděte odpověď v průsečíku
Poté, co se dva řádky protnou, je hodnota x a y v tomto bodě odpovědí na váš problém. Pokud budete mít štěstí, odpověď bude celé číslo. Například v našem příkladu se tyto dvě čáry protínají v bodě (2, 1) odpověď tedy zní x = 2 a y = 1. V některých soustavách rovnic je bod, kde se přímka protíná, mezi dvěma celými čísly, a pokud graf není příliš přesný, je obtížné určit, kde jsou hodnoty x a y v průsečíku. Pokud je to povoleno, můžete jako odpověď napsat „x je mezi 1 a 2“, nebo k nalezení odpovědi použít metodu substituce nebo eliminace.
Tipy
- Svou práci můžete zkontrolovat vložením odpovědí do původní rovnice. Pokud se ukáže, že je rovnice pravdivá (např. 3 = 3), znamená to, že vaše odpověď je správná.
- Při použití eliminační metody někdy musíte vynásobit rovnici záporným číslem, aby se proměnné mohly navzájem rušit.
