Kvadratická rovnice je rovnice, jejíž nejvyšší stupeň je 2 (na druhou). Existují tři hlavní způsoby, jak vyřešit kvadratickou rovnici: faktoring kvadratické rovnice, pokud je to možné, pomocí kvadratického vzorce nebo dokončení čtverce. Pokud chcete zvládnout tyto tři metody, postupujte takto.
Krok
Metoda 1 ze 3: Faktoringové rovnice
Krok 1. Zkombinujte všechny stejné proměnné a přesuňte je na jednu stranu rovnice
Prvním krokem k faktoringu rovnice je přesunout všechny stejné proměnné na jednu stranu rovnice s x2je pozitivní. Chcete -li kombinovat proměnné, sečtěte nebo odečtěte všechny proměnné x2, x a konstanty (celá čísla), přesuňte je na druhou stranu rovnice, aby na druhé straně nic nezůstalo. Pokud druhá strana nemá žádné zbývající proměnné, napište vedle znaménka rovná se 0. Postupujte takto:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Krok 2. Faktor této rovnice
K rozdělení této rovnice musíte použít faktor x2 (3) a konstantním faktorem (-4), jejich vynásobením a sečtením tak, aby odpovídalo proměnné uprostřed, (-11). Postupujte takto:
- 3x2 má pouze jeden možný faktor, který je, 3x a x, můžete je napsat do závorek: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Poté použijte proces eliminace na faktor 4 a najděte produkt, který poskytne -11x. Můžete použít součin 4 a 1 nebo 2 a 2, protože když vynásobíte oba, dostanete 4. Pamatujte však, že jedno z čísel musí být záporné, protože výsledek je -4.
- Zkuste (3x + 1) (x - 4). Když to znásobíte, výsledek je - 3x2 -12x +x -4. Pokud zkombinujete proměnné -12 x a x, výsledkem je -11x, což je vaše střední hodnota. Právě jste vytvořili kvadratickou rovnici.
- Zkusme například faktorizovat druhý produkt: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Pokud zkombinujete proměnné, výsledkem je 3x2 -4x -4. I když faktory -2 a 2 při násobení produkují -4, průměr není stejný, protože chcete získat hodnotu -11x místo -4x.
Krok 3. Předpokládejme, že každá závorka je nula v jiné rovnici
To vám umožní najít 2 x hodnoty, díky kterým bude vaše rovnice nulová. Zformátovali jste svou rovnici, takže nezbývá než předpokládat, že výpočet v každé závorce se rovná nule. Můžete tedy napsat 3x + 1 = 0 a x - 4 = 0.
Krok 4. Vyřešte každou rovnici samostatně
V kvadratické rovnici existují 2 hodnoty pro x. Vyřešte každou rovnici samostatně přesunutím proměnných a zapsáním 2 odpovědí pro x takto:
-
Řešení 3x + 1 = 0
- 3x = -1 ….. odečtením
- 3x/3 = -1/3 ….. dělením
- x = -1/3….. zjednodušením
-
Řešení x - 4 = 0
x = 4….. odečtením
- x = (-1/3, 4) ….. oddělením několika možných odpovědí, což znamená, že x = -1/3 nebo x = 4 mohou být obě správné.
Krok 5. Zkontrolujte x = -1/3 palce (3x + 1) (x -4) = 0:
Dostaneme tedy (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. nahrazením (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. zjednodušením (0) (-4 1/3) = 0….. vynásobením Takže 0 = 0….. Ano, x = -1/3 je pravda.
Krok 6. Zkontrolujte x = 4 palce (3x + 1) (x - 4) = 0:
Tak dostaneme (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. nahrazením (13) (4 - 4)? =? 0….. zjednodušením (13) (0) = 0….. vynásobením Takže 0 = 0….. Ano, x = 4 také platí.
Po kontrole samostatně jsou tedy obě odpovědi správné a lze je použít v rovnicích
Metoda 2 ze 3: Použití kvadratického vzorce
Krok 1. Zkombinujte všechny stejné proměnné a přesuňte je na jednu stranu rovnice
Přesuňte všechny proměnné na jednu stranu rovnice s hodnotou proměnné x2 pozitivní. Zapište si proměnné se sekvenčními exponenty, takže x2 nejprve napsané, poté proměnné a konstanty. Postupujte takto:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - X2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Krok 2. Zapište si kvadratický vzorec
Kvadratický vzorec je: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}}} {2a}}}
Krok 3. Určete hodnoty a, b, a c z kvadratické rovnice
Proměnná a je koeficient x2, b je koeficient proměnné x a c je konstanta. Pro 3x. Rovnici2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, a c = -8. Zapište si všechny tři.
Krok 4. Nahraďte v rovnici hodnoty a, b a c
Jakmile znáte tři hodnoty proměnných, připojte je do rovnice, jako je tato:
- {-b +/- √ (nar2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Krok 5. Proveďte výpočty
Jakmile zadáte čísla, proveďte nějakou matematiku, abyste zjednodušili kladné nebo záporné znaménko, znásobili nebo umocnili zbývající proměnné. Postupujte takto:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Krok 6. Zjednodušte odmocninu
Pokud je číslo pod odmocninou perfektní druhá mocnina, dostanete celé číslo. Pokud číslo není dokonalý čtverec, zjednodušte ho na jeho nejjednodušší kořenovou formu. Pokud je číslo záporné a domníváte se, že by mělo být záporné, bude kořenová hodnota komplikovaná. V tomto případě (121) = 11. Můžete napsat x = (5 +/- 11)/6.
Krok 7. Hledejte kladné a záporné odpovědi
Jakmile odstraníte odmocninu, můžete se propracovat k nalezení pozitivního a negativního výsledku pro x. Nyní, když máte (5 +/- 11)/6, můžete napsat 2 odpovědi:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Krok 8. Vyplňte kladné a záporné odpovědi
Proveďte matematické výpočty:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Krok 9. Zjednodušit
Pro zjednodušení každé odpovědi vydělte největším číslem, které může obě čísla dělit. Vydělte první zlomek 2 a druhý vydělte 6 a našli jste hodnotu x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metoda 3 ze 3: Dokončete náměstí
Krok 1. Přesuňte všechny proměnné na jednu stranu rovnice
Ujistěte se, že a nebo proměnná x2 pozitivní. Postupujte takto:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
V této rovnici je proměnná a 2, proměnná b je -12 a proměnná c je -9
Krok 2. Přesuňte proměnnou nebo konstantu c na druhou stranu
Konstanty jsou číselné termíny bez proměnných. Přesunout na pravou stranu rovnice:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Krok 3. Vydělte obě strany koeficientem a nebo proměnnou x2.
Pokud x2 nemá proměnnou a koeficient je 1, můžete tento krok přeskočit. V takovém případě musíte všechny proměnné vydělit 2, a to takto:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- X2 - 6x = 9/2
Krok 4. Rozdělte b na 2, zarovnejte na čtverce a výsledek přidejte na obě strany
Hodnota b v tomto příkladu je -6. Postupujte takto:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- X2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Krok 5. Zjednodušte obě strany
Faktorem proměnné na levé straně získáte (x-3) (x-3) nebo (x-3)2. Sečtením hodnot napravo získáte 9/2 + 9 nebo 9/2 + 18/2, což je 27/2.
Krok 6. Najděte druhou odmocninu pro obě strany
Druhá odmocnina z (x-3)2 je (x-3). Odmocninu 27/2 můžete zapsat jako ± √ (27/2). Tedy x - 3 = ± √ (27/2).
Krok 7. Zjednodušte kořeny a najděte hodnotu x
Pro zjednodušení ± √ (27/2) najděte perfektní čtverec mezi čísly 27 a 2 nebo toto číslo faktorujte. Perfektní druhou odmocninu z 9 lze nalézt v 27, protože 9 x 3 = 27. Chcete -li odebrat 9 z odmocniny, vezměte 9 z kořene a napište 3, odmocninu, mimo odmocninu. Ponechte zbytek 3 v čitateli zlomku pod druhou odmocninou, protože 27 nevypočítá všechny faktory, a zapište 2 níže. Poté přesuňte konstantu 3 na levé straně rovnice doprava a napište svá dvě řešení pro x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Tipy
- Jak vidíte, kořenové značky nezmizí úplně. Proměnné čitatele tedy nelze kombinovat (protože nejsou stejné). Nemá smysl rozdělovat to na pozitivní nebo negativní. Můžeme to však rozdělit stejným faktorem, ale POUZE pokud jsou faktory pro obě konstanty stejné A kořenový koeficient.
- Pokud číslo pod odmocninou není perfektní druhá mocnina, pak je posledních pár kroků trochu odlišných. Zde je příklad:
- Pokud je b sudé číslo, vzorec se stane: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
