V matematice, faktoring je způsob hledání čísel nebo výrazů, který při vynásobení vytvoří dané číslo nebo rovnici. Faktoring je užitečná dovednost naučit se řešit jednoduché problémy s algebrou; schopnost dobře faktorizovat se stává důležitou při řešení kvadratických rovnic a jiných forem polynomů. Faktoring lze použít ke zjednodušení algebraických výrazů, aby byla jejich řešení jednodušší. Factoring vám dokonce může dát možnost eliminovat určité možné odpovědi, mnohem rychleji, než je řešit ručně.
Krok
Metoda 1 ze 3: Faktorování čísel a jednoduché algebraické výrazy
Krok 1. Pochopte definici faktoringu při aplikaci na jednotlivá čísla
Faktoring je jednoduchý koncept, ale v praxi může být náročný, když se aplikuje na komplexní rovnice. Proto je nejjednodušší přistupovat ke konceptu faktoringu tak, že začneme jednoduchými čísly, poté přejdeme k jednoduchým rovnicím a nakonec přejdeme ke složitějším aplikacím. Faktory čísla jsou čísla, která při vynásobení vytvoří číslo. Faktory 12 jsou například 1, 12, 2, 6, 3 a 4, protože 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4 se rovnají 12.
- Další způsob, jak o tom přemýšlet, je, že faktory čísla jsou čísla, která se mohou na číslo rozdělit rovnoměrně.
-
Dokážete najít všechny faktory čísla 60? Číslo 60 používáme k různým účelům (minuty za hodinu, sekundy za minutu atd.), Protože je dělitelné spoustou dalších čísel.
Faktory 60 jsou 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60
Krok 2. Pochopte, že variabilní výrazy lze také faktorizovat
Stejně jako lze započítávat čísla samotná, lze započítávat i proměnné s číselnými koeficienty. Chcete -li to provést, stačí najít faktory variabilních koeficientů. Vědět, jak faktorovat proměnnou, je velmi užitečné pro zjednodušení algebraických rovnic zahrnujících tuto proměnnou.
-
Například proměnnou 12x lze zapsat jako součin faktorů 12 a x. Můžeme psát 12x jako 3 (4x), 2 (6x) atd. Pomocí libovolných faktorů 12, které pro naše účely nejlépe fungují.
Můžeme dokonce faktorovat 12krát vícekrát. Jinými slovy, nemusíme se zastavit na 3 (4x) nebo 2 (6x) - můžeme faktorovat 4x a 6x, abychom vytvořili 3 (2 (2x) a 2 (3 (2x)). Tyto dva výrazy samozřejmě jsou rovnocenné
Krok 3. Aplikujte distribuční vlastnost násobení na faktorové algebraické rovnice
Pomocí svých znalostí o tom, jak faktorovat jednotlivá čísla i proměnné pomocí koeficientů, můžete zjednodušit jednoduché algebraické rovnice vyhledáním faktorů, které čísla a proměnné sdílejí v algebraických rovnicích. Abychom zjednodušili rovnici, obvykle se snažíme najít největší společný faktor. Tento proces zjednodušení je možný kvůli distribuční vlastnosti násobení, která platí pro jakékoli číslo a, b, a c. a (b + c) = ab + ac.
- Zkusme příkladovou otázku. Abychom rozdělili algebraickou rovnici 12x + 6, zkusme nejprve najít největší společný faktor 12x a 6. 6 je největší číslo, které může rovnoměrně rozdělit 12x a 6, takže můžeme rovnici zjednodušit na 6 (2x + 1).
- Tento postup platí také pro rovnice se zápornými čísly a zlomky. Například x/2 + 4 lze zjednodušit na 1/2 (x + 8) a -7x + -21 lze rozdělit na -7 (x + 3).
Metoda 2 ze 3: Faktorování kvadratických rovnic
Krok 1. Ujistěte se, že je rovnice v kvadratické formě (ax2 + bx + c = 0).
Kvadratické rovnice mají tvar sekera2 + bx + c = 0, kde a, b, a c jsou číselné konstanty a nerovná se 0 (všimněte si, že a se může rovnat 1 nebo -1). Pokud máte rovnici, která má jednu proměnnou (x), která má jeden výraz x na sílu dvou nebo více, obvykle tyto výrazy v rovnici přesunete pomocí jednoduchých algebraických operací, abyste na každé straně znaménka a osy dostali 02, atd. na druhé straně.
- Představme si například algebraickou rovnici. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 lze zjednodušit na x2 + 6x + 9 = 0, což je čtvercová forma.
- Rovnice s větší mocninou x, například x3, X4, atd. nejsou kvadratické rovnice. Tyto rovnice jsou kubické rovnice až do čtvrté mocniny atd., Pokud nelze rovnici zjednodušit tak, aby se odstranilo těchto x výrazů s mocninami většími než 2.
Krok 2. V kvadratické rovnici, kde a = 1, součiníme na (x+d) (x+e), kde d × e = c a d+e = b
Pokud je vaše kvadratická rovnice ve tvaru x2 + bx + c = 0 (jinými slovy, pokud je koeficient výrazu x2 = 1), je možné (ale není zaručeno), že lze k faktorování rovnice použít poměrně snadnou zkrácenou metodu. Najděte dvě čísla, která po vynásobení dají c a sečteno k produkci b. Poté, co jste hledali tato dvě čísla d a e, vložte je do následujícího výrazu: (x+d) (x+e). Když tyto dva termíny vynásobíte, získáte svou kvadratickou rovnici - jinými slovy, jsou to faktory vaší kvadratické rovnice.
- Představme si například kvadratickou rovnici x2 + 5x + 6 = 0. 3 a 2 se vynásobí na 6 a také sečteme na 5, takže tuto rovnici můžeme zjednodušit na (x + 3) (x + 2).
-
Mírný rozdíl v této základní zkrácené metodě spočívá v rozdílech v samotných podobnostech:
- Pokud je kvadratická rovnice ve tvaru x2-bx+c, vaše odpověď je v tomto tvaru: (x - _) (x - _).
- Pokud je rovnice ve tvaru x2+ bx + c, vaše odpověď vypadá takto: (x + _) (x + _).
- Pokud je rovnice ve tvaru x2-bx -c, vaše odpověď je ve tvaru (x + _) (x -_).
- Poznámka: čísla v mezerách mohou být zlomky nebo desetinná místa. Například rovnice x2 + (21/2) x + 5 = 0 je započítáno do (x + 10) (x + 1/2).
Krok 3. Pokud je to možné, proveďte kontrolu pomocí kontrol
Věřte tomu nebo ne, u nekomplikovaných kvadratických rovnic je jednou z povolených faktoringových metod zkoumání problému a zvažování možných odpovědí, dokud nenajdete správnou odpověď. Tato metoda je také známá jako faktoring prostřednictvím vyšetření. Pokud je rovnice ve tvaru osy2+bx +c a a> 1, vaše faktorová odpověď je ve tvaru (dx +/- _) (ex +/- _), kde d a e jsou konstanty nenulových čísel, která při násobení dává a. Ani d ani e (nebo obojí) nemůže být 1, i když to nemusí být. Pokud jsou obě 1, v zásadě používáte zkrácenou metodu popsanou výše.
Pojďme si představit příklad problému. 3x2 - 8x + 4 vypadá zpočátku obtížně. Jakmile si však uvědomíme, že 3 má pouze dva faktory (3 a 1), bude tato rovnice snazší, protože víme, že naše odpověď musí mít tvar (3x +/- _) (x +/- _). V tomto případě přidáním -2 do obou mezer získáte správnou odpověď. -2 × 3x = -6x a -2 × x = -2x. -6x a -2x dohromady až -8x. -2 × -2 = 4, takže vidíme, že termíny započítané do závorek při násobení vytvářejí původní rovnici.
Krok 4. Vyřešte vyplněním čtverce
V některých případech lze kvadratické rovnice rychle a snadno vytvořit pomocí speciálních algebraických identit. Libovolná kvadratická rovnice ve tvaru x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Pokud je tedy ve vaší rovnici hodnota b dvojnásobkem odmocniny vaší hodnoty c, lze vaši rovnici započítat do (x + (root (c)))2.
Například rovnice x2 +6x+9 má tento tvar. 32 je 9 a 3 × 2 je 6. Víme tedy, že faktorová forma této rovnice je (x + 3) (x + 3) nebo (x + 3)2.
Krok 5. Použijte faktory k řešení kvadratických rovnic
Bez ohledu na to, jak jste založili svou kvadratickou rovnici, jakmile je rovnice zapracována, můžete najít možné odpovědi na hodnotu x tak, že každý faktor nastavíte na nulu a vyřešíte je. Vzhledem k tomu, že hledáte hodnotu x, která činí vaši rovnici rovnou nule, je hodnota x, která činí jakýkoli faktor rovný nule, možnou odpovědí na vaši kvadratickou rovnici.
Vraťme se k rovnici x2 + 5x + 6 = 0. Tato rovnice je zapracována do (x + 3) (x + 2) = 0. Pokud se kterýkoli faktor rovná 0, všechny rovnice se rovnají 0, takže naše možné odpovědi pro x jsou čísla- číslo, které dělá (x + 3) a (x + 2) se rovná 0. Tato čísla jsou -3, respektive -2.
Krok 6. Zkontrolujte své odpovědi - některé odpovědi mohou být zavádějící
Když najdete možné odpovědi pro x, připojte je zpět do své původní rovnice, abyste zjistili, zda je odpověď správná. Někdy odpovědi, které najdete, nedělají původní rovnici při opětovném zadání rovnou nule. Tuto odpověď nazýváme deviantní a ignorujeme ji.
-
Dejme -2 a -3 do x2 + 5x + 6 = 0. Nejprve, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Tato odpověď je správná, takže -2 je správná odpověď.
-
Zkusme nyní -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Tato odpověď je také správná, takže -3 je správná odpověď.
Metoda 3 ze 3: Faktorování dalších rovnic
Krok 1. Pokud je rovnice vyjádřena ve tvaru a2-b2, součin do (a+b) (a-b).
Rovnice se dvěma proměnnými mají jiné faktory než základní kvadratická rovnice. Pro rovnici a2-b2 cokoli, kde a a b nejsou rovno 0, faktory rovnice jsou (a+b) (a-b).
Například rovnice 9x2 - 4 roky2 = (3x + 2 roky) (3x - 2 roky).
Krok 2. Pokud je rovnice vyjádřena ve tvaru a2+2ab+b2, součinitel (a+b)2.
Všimněte si, že pokud je trojčlen ve tvaru a2-2ab+b2, tvarové faktory se mírně liší: (a-b)2.
4x. Rovnice2 + 8x + 4 roky2 lze přepsat jako 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Nyní vidíme, že forma je správná, takže si můžeme být jisti, že faktory naší rovnice jsou (2x + 2y)2
Krok 3. Pokud je rovnice vyjádřena ve tvaru a3-b3, faktor do (a-b) (a2+ab+b2).
Nakonec již bylo zmíněno, že kubické rovnice a ještě vyšší mocniny lze zohlednit, i když proces faktoringu se rychle stává velmi komplikovaným.
Například 8x3 - 27 let3 započítáno do (2x - 3r) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Tipy
- A2-b2 lze faktorizovat, a2+b2 nelze zohlednit.
- Pamatujte, jak faktorovat konstantu. To by mohlo pomoci.
- Buďte opatrní s frakcemi v procesu faktoringu a pracujte s frakcemi správně a opatrně.
- Pokud máte trojčlen ve tvaru x2+ bx+ (b/2)2, tvarový faktor je (x+(b/2))2. (S touto situací se můžete setkat při dokončování čtverce.)
- Pamatujte, že a0 = 0 (vlastnost součinu nuly).
