Když poprvé najdete kubickou rovnici (která je ve tvaru osy 3 + bx 2 + cx + d = 0), možná si myslíte, že problém bude obtížné vyřešit. Ale vězte, že řešení kubických rovnic je ve skutečnosti po staletí! Toto řešení, které objevili italští matematici Niccolò Tartaglia a Gerolamo Cardano v roce 1500, je jedním z prvních vzorců známých ve starověkém Řecku a Římě. Řešení kubických rovnic může být trochu obtížné, ale se správným přístupem (a dostatečnými znalostmi) lze vyřešit i ty nejobtížnější kubické rovnice.
Krok
Metoda 1 ze 3: Řešení pomocí kvadratických rovnic
Krok 1. Zkontrolujte, zda má vaše krychlová rovnice konstantu
Jak je uvedeno výše, tvar krychlové rovnice je ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c, a hodnota d může být 0, aniž by byla ovlivněna forma této kubické rovnice; to v podstatě znamená, že krychlová rovnice nemusí vždy zahrnovat hodnotu bx 2, cx, nebo d je kubická rovnice. Chcete -li začít používat tento poměrně snadný způsob řešení kubických rovnic, zkontrolujte, zda má vaše krychlová rovnice konstantu (nebo hodnotu d). Pokud vaše rovnice nemá konstantu nebo hodnotu pro d, můžete po několika krocích najít kvadratickou rovnici a najít odpověď na kubickou rovnici.
Na druhou stranu, pokud má vaše rovnice konstantní hodnotu, budete potřebovat jiné řešení. Další přístupy najdete v níže uvedených krocích
Krok 2. Vypočítejte hodnotu x z krychlové rovnice
Protože vaše rovnice nemá konstantní hodnotu, všechny složky v ní mají proměnnou x. To znamená, že tuto hodnotu x lze pro zjednodušení započítat z rovnice. Proveďte tento krok a přepište svou krychlovou rovnici do tvaru x (ax 2 + bx + c).
Řekněme například, že původní krychlová rovnice je zde 3 x 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. Součinem jedné proměnné x z této rovnice dostaneme rovnici x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Krok 3. K vyřešení rovnic v závorkách použijte kvadratické rovnice
Můžete si všimnout, že některé z vašich nových rovnic, které jsou uzavřeny v závorkách, jsou ve formě kvadratické rovnice (ax 2 + bx + c). To znamená, že můžeme najít hodnotu potřebnou k tomu, aby se tato rovnice rovnala nule, připojením a, b, a c do vzorce kvadratické rovnice ({- b +/- √ (b 2- 4 ac)}/2 a). Proveďte tyto výpočty a najděte dvě odpovědi na svou krychlovou rovnici.
-
V našem případě zapojte hodnoty a, b a c (3, -2 a 14) do kvadratické rovnice následovně:
-
-
{- b +/- √ (nar 2- 4 ac)}/2 a
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
-
Odpověď 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12,8 i}/6
-
-
Odpověď 2:
-
- {2 - 12,8 i}/6
-
Krok 4. Použijte nuly a odpověď na svou kvadratickou rovnici jako odpověď na kubickou rovnici
Kvadratické rovnice budou mít dvě odpovědi, zatímco kubické rovnice budou mít tři odpovědi. Už znáte dvě odpovědi ze tří; které získáte z „hranaté“části rovnice v závorkách. Pokud lze vaši kubickou rovnici vyřešit „faktorizací“takto, vaše třetí odpověď je téměř vždy 0. Bezpečný! Právě jste vyřešili kubickou rovnici.
Důvodem, proč tato metoda funguje, je zásadní fakt, že „jakékoli číslo vynásobené nulou se rovná nule“. Když faktorujete svou rovnici do tvaru x (ax 2 + bx + c) = 0, v podstatě to jen rozdělíte na dvě „části“; jedna část je proměnná x na levé straně a druhá část je kvadratická rovnice v závorkách. Pokud je jedna z těchto dvou částí nulová, pak bude celá rovnice také nulová. Dvě odpovědi na kvadratickou rovnici v závorkách, které by ji vynulovaly, jsou tedy odpovědí na kubickou rovnici i na 0 samotnou - což by část na levé straně rovnalo nule.
Metoda 2 ze 3: Hledání celočíselných odpovědí pomocí seznamu faktorů
Krok 1. Ujistěte se, že vaše krychlová rovnice má konstantní hodnotu
Přestože jsou výše popsané metody poměrně snadno použitelné, protože se k jejich použití nemusíte učit novou výpočetní techniku, ne vždy vám pomohou vyřešit kubické rovnice. Pokud má vaše krychlová rovnice tvar sekera 3 + bx 2 + cx + d = 0, kde hodnota d není rovna nule, výše uvedená metoda „faktorizace“nefunguje, takže k vyřešení tohoto problému budete muset použít jednu z metod v této části.
Řekněme například, že máme rovnici 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. V tomto případě, abychom získali nulu na pravé straně rovnice, musíme přidat 6 na obě strany. Poté získáme novou rovnici 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, s hodnotou d = 6, nemůžeme tedy použít metodu „faktorizace“jako v předchozí metodě.
Krok 2. Najděte faktory a a d
Chcete -li vyřešit svou kubickou rovnici, začněte hledáním faktoru a (koeficient x 3) a d (konstantní hodnota na konci rovnice). Pamatujte, že faktory jsou čísla, která lze navzájem vynásobit, aby vzniklo určité číslo. Protože například můžete získat 6 vynásobením 6 × 1 a 2 × 3, 1, 2, 3 a 6 jsou faktory 6.
-
V příkladu, který používáme, a = 2 ad = 6. Faktor 2 je 1 a 2. Zatímco faktor 6 je 1, 2, 3 a 6.
Krok 3. Vydělte faktor a faktorem d
Dále vytvořte seznam hodnot, které získáte vydělením každého faktoru a každým faktorem d. Výsledkem tohoto výpočtu je obvykle mnoho zlomkových hodnot a několik celých čísel. Celočíselná hodnota pro řešení vaší krychlové rovnice je jedno z celých čísel získaných z výpočtu.
V naší rovnici vydělte hodnotu faktoru a (1, 2) faktorem d (1, 2, 3, 6) a získejte následující výsledky: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, a 2/3. Dále přidejte do seznamu záporné hodnoty a dostaneme: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 a -2/3. Odpověď na kubickou rovnici - což je celé číslo - je na seznamu.
Krok 4. Pomocí syntetického dělení ručně zkontrolujte své odpovědi
Jakmile máte seznam hodnot, jako je ten výše, můžete vyhledat celočíselné hodnoty, které jsou odpovědí na vaši kubickou rovnici, zadáním každého celého čísla ručně a zjistit, která hodnota vrací nulu. Pokud však nechcete trávit čas tím, existuje způsob, jak to udělat rychleji, a to pomocí výpočtu nazývaného syntetické dělení. V zásadě byste celočíselnou hodnotu vydělili původními koeficienty a, b, c a d ve své kubické rovnici. Pokud je zbytek nula, pak je tato hodnota jednou z odpovědí na vaši krychlovou rovnici.
-
Syntetické dělení je složité téma - další informace naleznete v níže uvedeném odkazu. Zde je příklad, jak najít jednu z odpovědí na vaši kubickou rovnici se syntetickým dělením:
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Protože dostaneme konečný výsledek rovný 0, víme, že jedna z celočíselných odpovědí na naši krychlovou rovnici je - 1.
-
Metoda 3 ze 3: Použití diskriminačního přístupu
Krok 1. Zapište rovnice a, b, c a d
Abychom takto našli odpověď na kubickou rovnici, uděláme spoustu výpočtů s koeficienty v naší rovnici. Z tohoto důvodu je dobré si poznamenat hodnoty a, b, c a d, než na některou z hodnot zapomenete.
Například pro rovnici x 3 - 3 x 2 + 3 x -1, zapište to jako a = 1, b = -3, c = 3 ad = 1. Nezapomeňte, že když proměnná x nemá žádný koeficient, její hodnota je 1.
Krok 2. Vypočítejte 0 = b 2 - 3 klimatizace.
Diskriminační přístup k hledání odpovědí na kubické rovnice vyžaduje složité výpočty, ale pokud budete pečlivě postupovat podle kroků, může to být velmi užitečné pro řešení kubických rovnic, které je obtížné vyřešit jinými způsoby. Nejprve zjistěte hodnotu 0, což je první významná hodnota z několika, které potřebujeme, a vložte příslušnou hodnotu do vzorce b 2 - 3 klimatizace.
-
V příkladu, který používáme, to vyřešíme následovně:
-
- b 2 - 3 ac
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
Krok 3. Vypočítejte 1 = 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d.
Další významná hodnota, kterou potřebujeme, 1, vyžaduje delší výpočet, ale lze ji najít stejným způsobem jako 0. Zapojte příslušnou hodnotu do vzorce 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d abychom získali hodnotu 1.
-
V tomto případě to řešíme následovně:
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
Krok 4. Vypočítejte = 12 - 4Δ03) -27 a 2.
Dále vypočítáme „diskriminační“hodnotu hodnot 0 a 1. Diskriminační je číslo, které vám poskytne informace o kořenu polynomu (kvadratický diskriminační vzorec jste si možná nevědomky zapamatovali: b 2 - 4 klimatizace). V případě krychlové rovnice platí, že pokud je hodnota diskriminátoru kladná, pak má rovnice tři skutečné číselné odpovědi. Pokud je diskriminační hodnota rovna nule, pak má rovnice jednu nebo dvě odpovědi na reálné číslo a některé odpovědi mají stejnou hodnotu. Pokud je hodnota záporná, pak má rovnice pouze jednu odpověď na reálné číslo, protože graf rovnice vždy alespoň jednou protne osu x.)
-
V tomto případě, protože 0 i 1 = 0, je nalezení hodnoty velmi snadné. Potřebujeme to vypočítat následujícím způsobem:
-
- 12 - 4Δ03) -27 a 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, takže naše rovnice má 1 nebo 2 odpovědi.
-
Krok 5. Vypočítejte C = 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2).
Poslední hodnotou, kterou musíme získat, je hodnota C. Tato hodnota nám umožňuje získat všechny tři kořeny naší kubické rovnice. Řešte jako obvykle, do vzorce vložte hodnoty 1 a 0.
-
V tomto příkladu získáme hodnotu C:
-
- 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C.
-
Krok 6. Vypočtěte pomocí proměnné tři kořeny rovnice
Kořen (odpověď) vaší krychlové rovnice je určen vzorcem (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a kde u = (-1 + (-3))/2 a n se rovná 1, 2 nebo 3. Chcete-li je vyřešit, připojte své hodnoty do vzorce-je třeba provést několik výpočtů, ale měli byste dostat všechny tři své odpovědi na krychlové rovnice!
-
V tomto příkladu to můžeme vyřešit kontrolou odpovědí, když n se rovná 1, 2 a 3. Odpověď, kterou získáme z tohoto výpočtu, je možnou odpovědí na naši kubickou rovnici - jakákoli hodnota, kterou vložíme do krychlové rovnice a ta dá stejný výsledek. s 0, je správná odpověď. Pokud například v jednom z našich výpočtových experimentů dostaneme odpověď rovnou 1, vložíme hodnotu 1 do rovnice x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 dává konečný výsledek rovný 0. Tedy
Krok 1. je jednou z odpovědí na naši krychlovou rovnici.
