Jak zjednodušit složité zlomky: 9 kroků (s obrázky)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-15 08:11

Složitý zlomek je zlomek, ve kterém čitatel, jmenovatel nebo obojí také obsahuje zlomek. Z tohoto důvodu jsou složité zlomky někdy označovány jako „skládané zlomky“. Zjednodušení složitých zlomků může být snadné nebo obtížné v závislosti na tom, kolik čísel je v čitateli a jmenovateli, zda je jedno z čísel proměnnou nebo složitost čísla proměnné. Začněte viz krok 1 níže!

Krok

Metoda 1 ze 2: Zjednodušení složitých zlomků inverzním násobením

Krok 1. V případě potřeby zjednodušte čitatele a jmenovatele na jeden zlomek

Složité zlomky není vždy obtížné vyřešit. Ve skutečnosti je složité zlomky, jejichž čitatel a jmenovatel obsahují jediný zlomek, obvykle poměrně snadno řešitelné. Pokud tedy čitatel nebo jmenovatel (nebo obojí) komplexního zlomku obsahuje více zlomků nebo zlomků a celé číslo, zjednodušte jej, abyste získali jeden zlomek v čitateli i ve jmenovateli. Najděte nejméně společný násobek (LCM) dvou nebo více zlomků.

• Řekněme například, že chceme zjednodušit komplexní zlomek (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Nejprve si zjednodušíme čitatele i jmenovatele komplexního zlomku na jeden zlomek.

  • Pro zjednodušení čitatele použijte LCM 15 získaný vynásobením 3/5 a 3/3. Čitatel bude 9/15 + 2/15, což se rovná 11/15.
  • Pro zjednodušení jmenovatele použijeme výsledek LCM 70, který se získá vynásobením 5/7 číslem 10/10 a 3/10 číslem 7/7. Jmenovatel bude 50/70 - 21/70, což se rovná 29/70.
  • Nová komplexní frakce tedy je (11/15)/(29/70).

Krok 2. Invertujte jmenovatele, abyste našli jeho vzájemnost

Podle definice je dělení jednoho čísla druhým stejné jako vynásobení prvního čísla převráceným číslem druhého čísla. Nyní, když máme komplexní zlomek s jediným zlomkem v čitateli i ve jmenovateli, použijeme toto dělení ke zjednodušení komplexního zlomku. Nejprve najděte převrácenou hodnotu zlomku ve spodní části složité frakce. Udělejte to „převrácením“zlomku - umístěním čitatele na místo jmenovatele a naopak.

• V našem případě je zlomek ve jmenovateli komplexního zlomku (11/15)/(29/70) 29/70. Abychom našli inverzní, „invertujeme“ji, abychom dostali 70/29.

  Všimněte si, že pokud má komplexní zlomek ve jmenovateli celé číslo, můžeme s ním zacházet jako se zlomkem a najít jeho vzájemnost. Pokud je například komplexní zlomek (11/15)/(29), můžeme udělat jmenovatele 29/1, což znamená, že reciproční je 1/29.

Krok 3. Vynásobte čitatele komplexního zlomku převráceným dílem ve jmenovateli

Nyní, když máme převrácenou hodnotu jmenovatele komplexního zlomku, vynásobte jej čitatelem a získejte jeden jednoduchý zlomek. Pamatujte, že pro vynásobení dvou zlomků pouze křížíme - čitatel nového zlomku je číslo čitatele dvou starých zlomků a také jmenovatel.

V našem příkladu vynásobíme 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 a 15 × 29 = 435. Nový jednoduchý zlomek tedy je 770/435.

Krok 4. Zjednodušte nový zlomek nalezením největšího společného faktoru

Jeden jednoduchý zlomek už máme, takže nezbývá než vymyslet to nejjednodušší číslo. Najděte největší společný faktor (GCF) čitatele a jmenovatele a pro zjednodušení jej vydělte oběma.

Jedním z běžných faktorů 770 a 435 je 5. Pokud tedy vydělíme čitatele a jmenovatele zlomku číslem 5, dostaneme 154/87. 154 a 87 nemají žádné společné faktory, takže to je konečná odpověď!

Metoda 2 ze 2: Zjednodušení složitých zlomků obsahujících proměnná čísla

Krok 1. Pokud je to možné, použijte výše uvedenou metodu zpětného násobení

Aby bylo jasno, téměř všechny složité zlomky lze zjednodušit odečtením čitatele a jmenovatele jediným zlomkem a vynásobením čitatele převráceným dílem jmenovatele. Zahrnuty jsou také komplexní zlomky obsahující proměnné, ačkoli čím složitější je vyjádření proměnných v komplexních zlomcích, tím obtížnější a časově náročnější bude použití reverzního násobení. Pro „snadné“komplexní zlomky obsahující proměnné je dobrou volbou inverzní násobení, ale složité zlomky s více čísly proměnných v čitateli a jmenovateli může být jednodušší zjednodušit alternativním způsobem popsaným níže.

• Například (1/x)/(x/6) lze snadno zjednodušit inverzním násobením. 1/x × 6/x = 6/x². Zde není nutné používat alternativní metody.
• ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))))) je však obtížnější zjednodušit inverzním násobením. Redukce čitatele a jmenovatele komplexních zlomků na jednoduché zlomky, inverzní násobení a redukce výsledku na nejjednodušší čísla může být komplikovaný proces. V tomto případě může být jednodušší alternativní metoda níže.

Krok 2. Pokud reverzní násobení není praktické, začněte hledáním LCM zlomkového čísla v komplexním zlomku

Prvním krokem je najít LCM všech zlomkových čísel v komplexním zlomku - v čitateli i ve jmenovateli. Obvykle pokud má jedno nebo více zlomkových čísel číslo ve jmenovateli, LCM je číslo ve jmenovateli.

To je snadněji pochopitelné na příkladu. Zkusme zjednodušit výše uvedené složité zlomky, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Zlomková čísla v této komplexní frakci jsou (1)/(x+3) a (1)/(x-5). LCM těchto dvou zlomků je číslo ve jmenovateli: (x+3) (x-5).

Krok 3. Vynásobte čitatele komplexního zlomku nově nalezeným LCM

Dále musíme vynásobit číslo v komplexním zlomku LCM zlomkového čísla. Jinými slovy, všechny složité zlomky vynásobíme (KPK)/(KPK). Můžeme to provést nezávisle, protože (KPK)/(KPK) se rovná 1. Nejprve vynásobte samotné čitatele.

• V našem příkladu vynásobíme komplexní zlomek, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), tj. ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Musíme vynásobit čitatele a jmenovatele komplexního zlomku, každé číslo vynásobit (x + 3) (x-5).

  • Nejprve vynásobíme čitatele: ((((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = X³ - 12x² +6x +145

Krok 4. Vynásobte jmenovatele komplexního zlomku LCM stejně jako u čitatele

Pokračujte v vynásobení komplexního zlomku LCM nalezeným pokračováním ke jmenovateli. Vynásobte všechny, vynásobte každé číslo LCM.

• Jmenovatel naší komplexní frakce, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), je x +4 +((1) // (x-5)). Vynásobíme to nalezeným LCM, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = X³ + 2x² - 22x - 57

Krok 5. Vytvořte nový a zjednodušený zlomek z nově nalezeného čitatele a jmenovatele

Po vynásobení zlomku (KPK)/(KPK) a jeho zjednodušení kombinací čísel je výsledkem jednoduchý zlomek, který neobsahuje zlomkové číslo. Všimněte si, že vynásobením LCM zlomkového čísla v původním komplexním zlomku bude jmenovatel tohoto zlomku vyčerpán a ponechá proměnné číslo a celé číslo v čitateli a jmenovateli odpovědi bez zlomků.

S výše uvedeným čitatelem a jmenovatelem můžeme sestrojit zlomek, který je stejný jako původní komplexní zlomek, ale neobsahuje zlomkové číslo. Získaný čitatel je x³ - 12x² + 6x + 145 a jmenovatel, který jsme dostali, byl x³ + 2x² - 22x - 57, takže nový zlomek se stane (X³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Tipy

• Ukažte každý krok práce. Zlomky mohou být matoucí, pokud se kroky počítají příliš rychle nebo se to snažíte zpaměti.
• Najděte příklady složitých zlomků na internetu nebo v knihách. Sledujte každý krok, dokud jej nelze zvládnout.