3 způsoby, jak rozdělit trinomiální

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-15 08:11

Trinomiální je algebraický výraz skládající se ze tří výrazů. S největší pravděpodobností se začnete učit, jak faktorovat kvadratický trinomiál, což znamená trinomiál napsaný ve formě sekery² + bx + c. Existuje několik triků, které se můžete naučit a které lze použít pro mnoho různých typů kvadratických trojčlenů, ale budete je moci používat lépe a rychleji s praxí. Polynomy vyššího řádu s výrazy jako x³ nebo x⁴, nelze vždy vyřešit stejným způsobem, ale často můžete použít jednoduchý faktoring nebo substituci, abyste z něj udělali problém, který lze vyřešit jako jakýkoli jiný kvadratický vzorec.

Krok

Metoda 1 ze 3: Součinitel x² + bx + c

Krok 1. Naučte se násobení PLDT

Možná jste se naučili znásobit PLDT nebo „První, Venku, V, Poslední“pro znásobení výrazů jako (x+2) (x+4). Je užitečné vědět, jak toto násobení funguje, než vezmeme v úvahu:

• Znásobte kmeny za prvé: (X+2)(X+4) = X² + _

• Znásobte kmeny Mimo: (X+2) (x+

  Krok 4.) = x²+ 4x + _

• Znásobte kmeny v: (x+

  Krok 2.)(X+4) = x²+4x+ 2x + _

• Znásobte kmeny Finále: (x+

  Krok 2.)(X

  Krok 4.) = x²+4x+2x

  Krok 8.

• Zjednodušit: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Krok 2. Pochopte faktoring

Když vynásobíte dva binomie pomocí metody PLDT, získáte trinomiální (výraz se třemi výrazy) ve tvaru a x²+ b x+ c, kde a, b, a c jsou obyčejná čísla. Pokud začnete s rovnicí, která má stejný tvar, můžete ji zahrnout zpět do dvou binomií.

• Pokud rovnice nejsou zapsány v tomto pořadí, uspořádejte rovnice tak, aby měly toto pořadí. Například přepsat 3x - 10 + x² Stává se X² + 3x - 10.
• Protože nejvyšší výkon je 2 (x²Tento typ výrazu se nazývá kvadratický.

Krok 3. Ponechte prázdné místo pro odpověď ve formě multiplikace PLDT

Zatím jen pište (_ _)(_ _) kam napíšeš odpověď. Při práci na něm naplníme

Nepište + nebo - mezi prázdné výrazy, protože ještě neznáme správné znaménko

Krok 4. Vyplňte první podmínky

U jednoduchých problémů je první člen vašeho trojčlenu jen x², podmínky na první pozici jsou vždy X a X. Toto jsou faktory pojmu x² protože x krát x = x².

• Náš příklad x² + 3x - 10 počínaje x², takže můžeme napsat:
• (x _) (x _)
• V další části budeme pracovat na složitějších problémech, včetně trojčlenů začínajících výrazy jako 6x² nebo -x². Do té doby se řiďte těmito ukázkovými otázkami.

Krok 5. Pomocí faktoringu uhádněte Poslední podmínky

Pokud se vrátíte a přečtete si kroky k vynásobení PLDT, uvidíte, že znásobením posledních podmínek vytvoříte poslední člen v polynomu (termíny, které nemají x). Abychom to zohlednili, musíme najít dvě čísla, která po vynásobení vytvoří poslední člen.

• V našem příkladu x² + 3x - 10, poslední termín je -10.
• Jaké jsou faktory -10? Jaké číslo se vynásobí -10?
• Existuje několik možností: -1 krát 10, 1krát -10, -2krát 5 nebo 2krát -5. Zapište si tyto páry někam, abyste si je zapamatovali.
• Naši odpověď zatím neměňte. Naše odpověď by měla stále vypadat takto: (x _) (x _).

Krok 6. Otestujte možnosti, které odpovídají vnějšímu a vnitřnímu produktu

Poslední podmínky jsme zúžili na několik možností. Pomocí zkušebního systému otestujte všechny možnosti, vynásobte vnější a vnitřní pojmy a porovnejte produkt s naším trinomiálem. Například:

• Náš původní problém měl výraz „x“na 3x, takže naše výsledky testů by se měly shodovat s tímto termínem.
• Testy -1 a 10: (x -1) (x+10). Venku + uvnitř = 10x - x = 9x. Špatně.
• Testy 1 a -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. To je špatně. Ve skutečnosti, pokud testujete -1 a 10, zjistíte, že 1 a -10 jsou opakem výše uvedené odpovědi: -9x místo 9x.
• Testy -2 a 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Výsledek odpovídá počátečnímu polynomu, takže správná odpověď je zde: (x-2) (x+5).
• V jednoduchých případech, jako je tento, pokud nemáte konstantu před výrazem x², můžete použít rychlý způsob: stačí sečíst dva faktory a dát za to „x“(-2+5 → 3x). U složitějších problémů však tato metoda nefunguje, takže je lepší si pamatovat výše popsanou „dlouhou cestu“.

Metoda 2 ze 3: Faktorování složitějších trinomií

Krok 1. Pomocí jednoduchého faktoringu zjednodušíte složitější problémy

Například musíte faktorovat 3x² + 9x - 30. Najděte číslo, které může zohlednit všechny tři termíny („největší společný faktor“nebo GCF). V tomto případě je GCF 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Tedy 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Nový trinomiál můžeme vyloučit pomocí kroků v sekci výše. Naše konečná odpověď bude (3) (x-2) (x+5).

Krok 2. Podívejte se na více komplikujících faktorů

Někdy může faktoring zahrnovat proměnnou, nebo budete muset faktorovat několikrát, abyste našli co nejjednodušší výraz. Zde jsou nějaké příklady:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 roky)(X² + 7x + 12)
• X⁴ + 11x³ - 26x² = (X²)(X² +11x - 26)
• -X² + 6x - 9 = (-1)(X² - 6x + 9)
• Nezapomeňte refaktorovat novou trinomii podle kroků v Metodě 1. Zkontrolujte svoji práci a hledejte příklady podobných problémů ve vzorových otázkách v dolní části této stránky.

Krok 3. Vyřešte problémy s číslem před x².

Některé kvadratické trojčleny nelze redukovat na nejjednodušší typ problému. Naučte se řešit problémy jako 3x² + 10x + 8, poté si procvičte sami pomocí ukázkových otázek v dolní části této stránky:

• Nastavte naši odpověď na: (_ _)(_ _)
• Naše výrazy „První“budou mít každé jedno x a jejich vynásobením získáte 3x². Je jen jedna možnost: (3x _) (x _).
• Seznam faktorů 8. Šance jsou 1 krát 8 nebo 2 krát 4.
• Otestujte tuto možnost pomocí vnějších a vnitřních pojmů. Pořadí faktorů je velmi důležité, protože vnější člen je vynásoben 3x místo x. Vyzkoušejte všechny možnosti, dokud se nedostanete Out+In = 10x (z původního problému):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Ne
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Ne
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Ne
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Ano. To je správný faktor.

Krok 4. Použijte substituci pro trinomy vyššího řádu

Vaše matematická kniha vás může překvapit rovnicemi s vysokými mocninami, například x⁴, a to i poté, co ke zjednodušení problému použijete jednoduché faktoring. Zkuste nahradit novou proměnnou, která z ní udělá problém, který umíte vyřešit. Například:

• X⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Pojďme vytvořit novou proměnnou. Řekněme, že y = x² a vložte do něj:
• (x) (r²+13 let+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Nyní jej převeďte zpět na počáteční proměnnou:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metoda 3 ze 3: Faktorování zvláštních případů

Krok 1. Najděte prvočísla

Podívejte se, jestli je konstanta v prvním nebo třetím členu trojčlenu prvočíslo. Prvočíslo je dělitelné pouze samo sebou a 1, takže existuje pouze jeden možný pár binomických faktorů.

• Například v x² + 6x + 5, 5 je prvočíslo, takže binomické číslo musí mít tvar (_ 5) (_ 1).
• Problém 3x²+10x+8, 3 je prvočíslo, takže binomie musí mít tvar (3x _) (x _).
• Pro dotazy 3x²+4x+1, obě 3 a 1 jsou prvočísla, takže jediným možným řešením je (3x+1) (x+1). (Toto číslo byste měli znásobit, abyste zkontrolovali svou odpověď, protože některé výrazy nelze vůbec započítat - například 3x²+100x+1 nemá žádný faktor.)

Krok 2. Zjistěte, zda je trojčlen dokonalým čtvercem

Dokonalý čtvercový trojčlen lze rozdělit na dva identické binomické součinitele a faktor se obvykle zapisuje jako (x+1)² a ne (x+1) (x+1). Zde je několik příkladů, které se obvykle vyskytují v otázkách:

• X²+2x+1 = (x+1)²a x²-2x+1 = (x-1)²
• X²+4x+4 = (x+2)²a x²-4x+4 = (x-2)²
• X²+6x+9 = (x+3)²a x²-6x+9 = (x-3)²
• Perfektní čtvercový trinomiál ve tvaru a x² + bx + c má vždy výrazy aac, které jsou kladnými dokonalými čtverci (například 1, 4, 9, 16 nebo 25) a jedním výrazem b (kladným nebo záporným), který se rovná 2 (√a * √c).

Krok 3. Zjistěte, zda problém nemá řešení

Ne všechny trojčleny lze zohlednit. Pokud nemůžete faktorovat kvadratický trinomiál (ax²+bx+c), použijte kvadratický vzorec k nalezení odpovědi. Pokud je jedinou odpovědí odmocnina záporného čísla, neexistuje skutečné řešení čísla, pak problém nemá žádné faktory.

Pro non-square trinomials použijte Eisensteinovo kritérium, které je popsáno v sekci Tipy

Odpovědi a ukázkové otázky

1. Odpovědi na otázky „komplikovaného faktoringu“.

   To jsou otázky z kroku „složitější faktory“. Zjednodušili jsme problémy na jednodušší, zkuste je tedy vyřešit pomocí kroků v metodě 1 a poté zkontrolujte svou práci zde:

   • (2 roky) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (X²)(X² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Zkuste složitější problémy s faktorováním.

   Tyto problémy mají v každém výrazu stejný faktor, který je třeba nejprve zohlednit. Chcete -li zobrazit odpovědi, můžete zablokovat mezery za znaménkem rovnosti:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) zablokujte prázdné místo, abyste viděli odpověď
   • -5x³y²+30x²y²-25 let²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Procvičte si používání otázek. Tyto problémy nelze zahrnout do jednodušších rovnic, takže budete muset najít odpověď ve tvaru (_x + _) (_ x + _) pomocí pokusů a omylů:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) blok pro zobrazení odpovědi
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Tip: Možná budete chtít vyzkoušet více než jeden pár faktorů pro 9x.)

   Tipy

   • Pokud nemůžete přijít na to, jak faktorovat kvadratický trinomiál (sekera²+bx+c), můžete použít kvadratický vzorec k nalezení x.

   • I když nepotřebujete vědět, jak to udělat, můžete pomocí Eisensteinových kritérií rychle určit, zda polynom nelze zjednodušit a zohlednit. Toto kritérium platí pro jakýkoli polynom, ale nejlépe se používá pro trojčleny. Pokud existuje prvočíslo p, které rovnoměrně rozděluje poslední dva členy a splňuje následující podmínky, pak polynom nelze zjednodušit:

     • Konstantní výrazy (bez proměnných) jsou násobky p, ale nikoli násobky p².
     • Předpona (například a v ax²+bx+c) není násobkem p.
     • Například 14x² +45x +51 nelze zjednodušit, protože existuje prvočíslo (3), které lze dělit jak 45, tak 51, ale nedělitelné 14 a 51 není dělitelné 3².

   Varování

   I když to platí pro kvadratické trinomy, trojčlen, který lze započítat, nemusí být nutně výsledkem dvou binomií. Například x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).