Rychlost je definována jako rychlost objektu v určitém směru. V mnoha situacích můžeme k nalezení rychlosti použít rovnici v = s/t, kde v je rychlost, s je celková vzdálenost, o kterou se objekt přesunul ze své počáteční polohy, a t se rovná času. Tato metoda však poskytuje pouze "průměrnou" hodnotu rychlosti objektu přes jeho posunutí. Pomocí kalkulu můžete vypočítat rychlost objektu v kterémkoli bodě podél jeho posunutí. Tato hodnota se nazývá „okamžitá rychlost“a lze ji vypočítat podle rovnice v = (ds)/(dt), nebo jinými slovy, je derivace rovnice pro průměrnou rychlost objektu.
Krok
Metoda 1 ze 3: Výpočet okamžité rychlosti
Krok 1. Začněte s rovnicí pro rychlost posunutí objektu
Abychom získali hodnotu okamžité rychlosti objektu, musíme mít nejprve rovnici, která popisuje jeho polohu (z hlediska jeho posunutí) v daném časovém bodě. To znamená, že rovnice musí mít proměnnou s (který stojí samostatně) na jedné straně a t na druhé straně (ale ne nutně samostatně) takto:
s = -1,5 t2+10t+4
-
V rovnici jsou proměnné:
-
-
Posun = s. To je vzdálenost, kterou objekt urazil od jeho počátečního bodu. Pokud například objekt cestuje o 10 metrů vpřed a 7 metrů zpět, pak celková ujetá vzdálenost je 10 - 7 = 3 metry (ne 10 + 7 = 17 metrů).
-
Čas = t. Tato proměnná je samozřejmá. Obvykle se vyjadřuje v sekundách. # Vezměte derivaci rovnice. Derivace rovnice je další rovnice, která může poskytnout hodnotu sklonu od určitého bodu. Chcete -li najít derivaci vzorce pro posunutí objektu, derivujte funkci pomocí následujícího obecného pravidla: Pokud y = a*x Derivát = a*n*xn-1. Toto pravidlo platí pro všechny součásti, které jsou na straně „t“rovnice.
Výpočet okamžité rychlosti Krok 2
-
-
- Jinými slovy, začněte sestupně na straně „t“rovnice zleva doprava. Pokaždé, když dosáhnete hodnoty „t“, odečtěte 1 od hodnoty exponentu a celek vynásobte původním exponentem. Jakékoli konstanty (proměnné, které neobsahují „t“) budou ztraceny, protože jsou vynásobeny 0. Tento proces není tak obtížný, jak by si někdo mohl myslet, odvodíme rovnici ve výše uvedeném kroku jako příklad:
s = -1,5 t2+10t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10 t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Krok 2. Nahraďte proměnnou „s“hodnotou „ds/dt
„Chcete -li ukázat, že vaše nová rovnice je derivací předchozí rovnice, nahraďte„ s “„ ds/dt “. Technicky tento zápis znamená„ derivace s vzhledem k t. “Jednodušší způsob, jak tomu porozumět, je to, že ds /dt je hodnota sklonu (sklonu) v kterémkoli bodě první rovnice, například pro určení sklonu přímky nakreslené z rovnice s = -1,5 t2 + 10t + 4 při t = 5, můžeme do derivační rovnice zapojit hodnotu „5“.
- V použitém příkladu by první derivační rovnice nyní vypadala takto:
ds/s = -3t + 10
Krok 3. Zapojením hodnoty t do nové rovnice získáte hodnotu okamžité rychlosti
Nyní, když máte derivační rovnici, je snadné najít okamžitou rychlost v kterémkoli bodě. Vše, co musíte udělat, je vybrat hodnotu pro t a zapojit ji do své derivační rovnice. Pokud například chcete najít okamžitou rychlost na t = 5, můžete v derivační rovnici ds/dt = -3 + 10 nahradit hodnotu t „5“. Potom rovnici vyřešte takto:
ds/s = -3t + 10
ds/s = -3 (5) + 10
ds/s = -15 + 10 = - 5 metrů za sekundu
Všimněte si toho, že výše použitá jednotka je „metr/sekundu“. Protože to, co vypočítáme, je posun v metrech a čas v sekundách (sekundách) a rychlost obecně je posunutí v určitém čase, je tato jednotka vhodná k použití
Metoda 2 ze 3: Grafické odhadnutí okamžité rychlosti
Krok 1. Nakreslete graf posunutí objektu v čase
Ve výše uvedené části je derivace uvedena jako vzorec pro nalezení sklonu v daném bodě pro rovnici, kterou odvozujete. Ve skutečnosti, pokud v grafu reprezentujete posunutí objektu jako čáru, „sklon čáry ve všech bodech se rovná hodnotě její okamžité rychlosti v tomto bodě“.
- Chcete -li popsat posunutí objektu, použijte x k reprezentaci času a y k reprezentaci posunutí. Poté nakreslete body a zapojte hodnotu t do své rovnice, čímž získáte hodnotu s pro svůj graf, označte t, s v grafu jako (x, y).
- Graf se může rozprostírat pod osou x. Pokud čára představující pohyb vašeho objektu dosáhne pod osu x, znamená to, že se objekt přesunul z původní polohy zpět. Váš graf obecně nedosáhne na zadní stranu osy y - protože neměříme rychlost objektu, který se pohybuje kolem!
Krok 2. Vyberte sousední bod P a Q v přímce
Abychom získali sklon přímky v bodě P, můžeme použít trik zvaný „vzít limit“. Převzetí limitu zahrnuje dva body (P a Q, bod poblíž) na zakřivené čáře a nalezení sklonu čáry jejich spojením mnohokrát, dokud se vzdálenosti P a Q nepřiblíží.
Řekněme, že posunutí objektu obsahuje hodnoty (1, 3) a (4, 7). V tomto případě, pokud chceme najít sklon v bodě (1, 3), můžeme určit (1, 3) = P a (4, 7) = Q.
Krok 3. Najděte sklon mezi P a Q
Sklon mezi P a Q je rozdílem hodnot y pro P a Q podél rozdílu hodnot osy x pro P a Q. Jinými slovy, H = (rOtázka - yP)/(XOtázka - XP), kde H je sklon mezi dvěma body. V našem případě je hodnota sklonu mezi P a Q
H = (rOtázka- yP)/(XOtázka- XP)
H = (7-3)/(4-1)
H = (4)/(3) = 1.33
Krok 4. Opakujte několikrát a posuňte Q blíže k P
Vaším cílem je zmenšit vzdálenost mezi P a Q, aby se podobala tečce. Čím blíže je vzdálenost mezi P a Q, tím blíže je sklon přímky v bodě P. Proveďte to několikrát s rovnicí použitou jako příklad pomocí bodů (2, 4,8), (1,5, 3,95) a (1,25, 3,49) jako Q a výchozí bod (1, 3) jako P:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (0,95)/(5) = 1.9
Q = (1,25; 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (0,49)/(. 25) = 1.96
Krok 5. Odhadněte sklon čáry na velmi malou vzdálenost
Jak se Q blíží k P, H se přibližuje a přibližuje hodnotě sklonu bodu P. Nakonec, když dosáhne velmi malé hodnoty, H se rovná sklonu P. Jelikož nemůžeme měřit ani počítat velmi malé vzdálenosti, můžeme pouze odhadnout sklon na P poté, co je z bodu, který zkoušíme, jasný.
- V tomto příkladu, když se přesuneme Q blíže k P, získáme hodnoty 1,8, 1,9 a 1,96 pro H. Protože tato čísla jsou blízká 2, můžeme říci, že 2 je přibližný sklon P.
- Pamatujte, že sklon v daném bodě čáry se rovná derivaci rovnice přímky. Protože použitá čára ukazuje posunutí objektu v čase, a protože jak jsme viděli v předchozí části, okamžitá rychlost objektu je derivací jeho posunutí v daném bodě, můžeme také konstatovat, že „2 metry/sekundu "je přibližná hodnota okamžité rychlosti při t = 1.
Metoda 3 ze 3: Ukázkové otázky
Krok 1. Najděte hodnotu okamžité rychlosti při t = 4, z rovnice posunutí s = 5t3 - 3 t2 +2t+9.
Tento problém je stejný jako v příkladu v první části, kromě toho, že tato rovnice je rovnice krychle, nikoli rovnice síly, takže tento problém můžeme vyřešit stejným způsobem.
- Nejprve vezmeme derivaci rovnice:
- Poté zadejte hodnotu t (4):
s = 5 t3- 3 t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2 t(1 - 1) + (0) 9 t0 - 1
15 t(2) - 6t(1) + 2 t(0)
15 t(2) - 6t + 2
s = 15 t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metrů za sekundu
Krok 2. Použijte grafický odhad k nalezení okamžité rychlosti v (1, 3) pro rovnici posunutí s = 4t2 - t.
Pro tento problém použijeme (1, 3) jako bod P, ale musíme definovat další bod sousedící s tímto bodem jako bod Q. Pak stačí určit hodnotu H a provést odhad.
- Nejprve najděte nejprve hodnotu Q na t = 2, 1,5, 1,1 a 1,01.
- Poté určete hodnotu H:
- Protože hodnota H je velmi blízko 7, můžeme to konstatovat 7 metrů za sekunduje přibližná okamžitá rychlost v (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, takže Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, takže Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, takže Q = (1,1; 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, takže Q = (1,01, 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14-3)/(2-1)
H = (11)/(1) =
Krok 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(. 5) =
Krok 9.
Q = (1,1; 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (0,74)/(. 1) = 7.3
Q = (1,01, 3,0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (0,0704)/(0,01) = 7.04
Tipy
- Chcete -li zjistit hodnotu zrychlení (změna rychlosti v čase), použijte metodu v první části pro získání rovnice pro derivaci funkce posunutí. Potom vytvořte odvozenou rovnici znovu, tentokrát z vaší odvozené rovnice. To vám poskytne rovnici k nalezení zrychlení v daném čase, vše, co musíte udělat, je zadat vaši časovou hodnotu.
- Rovnice vztahující se k hodnotě Y (posunutí) k X (čas) může být velmi jednoduchá, například Y = 6x + 3. V tomto případě je hodnota sklonu konstantní a pro její výpočet není třeba hledat derivaci, kde podle rovnice přímky se Y = mx + b bude rovnat 6.
- Posun je podobný vzdálenosti, ale má směr, takže posun je vektorová veličina, zatímco vzdálenost je skalární veličina. Hodnota posunutí může být záporná, ale vzdálenost bude vždy kladná.
