Deriváty lze použít k odvození užitečných charakteristik z grafu, jako jsou maximální, minimální, špičkové, minimální a sklonové hodnoty. Můžete jej dokonce použít k vykreslení složitých rovnic bez použití grafické kalkulačky! Práce na derivátech je bohužel často únavná, ale tento článek vám pomůže s některými tipy a triky.
Krok
Krok 1. Porozumět odvozenému zápisu
Následující dva zápisy jsou nejpoužívanější, i když mnoho dalších najdete zde na Wikipedii.
- Leibnizova notace Tato notace je nejčastěji používanou notací, když rovnice zahrnuje y a x. dy/dx doslovně znamená derivaci y vzhledem k x. Může být užitečné uvažovat o tom jako y/Δx pro velmi odlišné hodnoty x a y. Toto vysvětlení vede k definici derivačního limitu: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. Při použití tohoto zápisu pro druhou derivaci byste měli napsat: d2r/dx2.
- Lagrangeův zápis Derivát funkce f se také zapisuje jako f '(x). Tento zápis zní f s diakritikou x. Tento zápis je kratší než Leibnizův zápis a je užitečný při prohlížení derivátů jako funkcí. Chcete -li vytvořit větší stupeň derivace, stačí přidat 'do f, takže druhá derivace bude f' '(x).
Krok 2. Pochopte význam derivátu a důvody sestupu
Nejprve, aby se našel sklon lineárního grafu, vezmou se dva body na přímce a jejich souřadnice se zadají do rovnice (y2 - y1)/(X2 - X1). Lze jej však použít pouze pro lineární grafy. U kvadratických rovnic a vyšších bude přímka křivkou, takže nalezení rozdílu mezi dvěma body není příliš přesné. Abychom našli sklon tangenty v křivkovém grafu, vezmeme dva body a vložíme je do obecné rovnice, abychom našli sklon křivkového grafu: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx označuje delta x, což je rozdíl mezi dvěma souřadnicemi x ve dvou bodech grafu. Všimněte si, že tato rovnice je stejná jako (y2 - y1)/(X2 - X1), pouze v jiné formě. Protože bylo známo, že výsledky budou nepřesné, byl použit nepřímý přístup. Abychom našli sklon tečny na (x, f (x)), dx musí být blízko 0, aby se dva nakreslené body spojily do jednoho bodu. Nelze však dělit 0, takže jakmile zadáte hodnoty dvou bodů, budete muset použít faktoring a další metody k odstranění dx ze spodní části rovnice. Jakmile to uděláte, udělejte dx 0 a máte hotovo. Toto je sklon tangens na (x, f (x)). Derivace rovnice je obecná rovnice pro hledání sklonu jakékoli tangenty v grafu. Může se to zdát velmi komplikované, ale níže je několik příkladů, které pomohou vysvětlit, jak derivát získat.
Metoda 1 ze 4: Explicitní deriváty
Krok 1. Pokud má vaše rovnice na jedné straně y, použijte explicitní derivaci
Krok 2. Zapojte rovnici do rovnice [f (x + dx) - f (x)]/dx
Pokud je rovnice například y = x2, derivát bude [(x + dx)2 - X2]/dx.
Krok 3. Rozbalením a odstraněním dx vytvoříte rovnici [dx (2x + dx)]/dx
Nyní můžete vrhnout dva dx nahoře a dole. Výsledek je 2x + dx a jak se dx blíží nule, derivace je 2x. To znamená, že sklon jakékoli tečny grafu y = x2 je 2x. Stačí zadat hodnotu x pro bod, pro který chcete najít sklon.
Krok 4. Naučte se vzorce pro odvozování podobných rovnic
Zde jsou nějaké příklady.
- Jakýkoli exponent je mocnina vynásobená hodnotou zvýšenou na mocninu menší než 1. Například derivace x5 je 5x4, a derivát x3, 5 je 3, 5x2, 5. Pokud již před číslem x je číslo, jednoduše jej vynásobte mocninou. Například derivace 3x4 je 12x3.
- Derivát jakékoli konstanty je nula. Derivace 8 je tedy 0.
- Derivát součtu je součtem příslušných derivátů. Například derivát x3 + 3x2 je 3x2 + 6x.
- Derivát produktu je první faktor krát derivace druhého faktoru plus druhý faktor krát derivace prvního faktoru. Například derivát x3(2x + 1) je x3(2) + (2x + 1) 3x2, což se rovná 8x3 + 3x2.
- Derivát kvocientu (řekněme f/g) je [g (derivát f) - f (derivát g)]/g2. Například derivát (x2 + 2x - 21)/(x - 3) je (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metoda 2 ze 4: Implicitní deriváty
Krok 1. Pokud vaši rovnici již nelze zapsat s y na jedné straně, použijte implicitní deriváty
Ve skutečnosti, pokud byste na jednu stranu napsali y, bylo by výpočet dy/dx únavné. Zde je příklad, jak můžete vyřešit tento typ rovnic.
Krok 2. V tomto příkladu x2r + 2 r3 = 3x + 2y, nahraďte y f (x), takže si budete pamatovat, že y je ve skutečnosti funkce.
Rovnice se pak stane x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Krok 3. Chcete -li najít derivaci této rovnice, derivujte obě strany rovnice s ohledem na x
Rovnice se pak stane x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Krok 4. Nahraďte f (x) opět y
Dávejte pozor, abyste nenahradili f '(x), které se liší od f (x).
Krok 5. Najděte f '(x)
Odpověď pro tento příklad se stane (3 - 2xy)/(x2 + 6 let2 - 2).
Metoda 3 ze 4: Deriváty vyššího řádu
Krok 1. Odvození funkce vyššího řádu znamená, že derivujete derivaci (na pořadí 2)
Pokud vás například problém požádá o odvození třetího řádu, pak vezměte pouze derivát derivátu derivátu. U některých rovnic bude derivát vyššího řádu 0.
Metoda 4 ze 4: Řetězové pravidlo
Krok 1. Pokud y je diferenciální funkce z, a z je diferenciální funkce x, y je složená funkce x a derivace y vzhledem k x (dy/dx) je (dy/du)* (du/dx)
Řetězové pravidlo může být také kombinací mocninných rovnic, jako je tato: (2x4 - X)3. Chcete -li najít derivát, přemýšlejte o tom jako o pravidle násobení. Vynásobte rovnici výkonem a snižte o 1 na mocninu. Potom vynásobte rovnici derivací rovnice v závorkách, která zvyšuje mocninu (v tomto případě 2x^4 - x). Odpověď na tuto otázku je 3 (2x4 - X)2(8x3 - 1).
Tipy
- Kdykoli uvidíte obtížně řešitelný problém, nedělejte si starosti. Zkuste to rozdělit na co nejvíce menších částí pomocí pravidel násobení, kvocientu atd. Poté spusťte každou část.
- Cvičte s pravidlem násobení, pravidlem kvocientu, řetězovým pravidlem a zvláště implicitními derivacemi, protože tato pravidla jsou v počtu mnohem obtížnější.
- Dobře rozumějte své kalkulačce; vyzkoušejte si různé funkce v kalkulačce a naučte se je používat. Je velmi užitečné vědět, jak používat tangenty a derivační funkce ve vaší kalkulačce, pokud jsou k dispozici.
- Pamatujte si základní trigonometrické deriváty a jejich použití.
