Jak odvodit implicitní funkce: 7 kroků (s obrázky)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-19 22:11

V počtu, když máte rovnici pro y zapsanou ve tvaru x (např. Y = x² -3x), je snadné použít základní derivační techniky (označované matematiky jako derivační techniky implicitní funkce) k nalezení derivátu. U rovnic, které je obtížné sestrojit pouze s výrazem y na jedné straně znaménka rovnosti (např. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), je potřeba jiný přístup. S technikou nazývanou deriváty implicitní funkce je snadné najít derivace rovnic s více proměnnými, pokud znáte základy derivátů explicitní funkce!

Krok

Metoda 1 ze 2: Rychlé odvozování jednoduchých rovnic

Krok 1. Odvozte x podmínek jako obvykle

Při pokusu o odvození rovnice s více proměnnými jako x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, může být obtížné vědět, kde začít. Naštěstí je první krok derivace implicitní funkce nejjednodušší. Stačí odvodit termíny x a konstanty na obou stranách rovnice podle pravidel běžných (explicitních) derivací pro začátek. Podmínky y prozatím ignorujte.

• Pokusme se odvodit příklad jednoduché rovnice výše. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 má dva výrazy x: x² a -5x. Chceme -li odvodit rovnici, musíme to udělat nejprve takto:

  X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Snižte sílu 2 v x² jako koeficient odeberte x v -5x a změňte 19 na 0)

  2x + r² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Krok 2. Odvoďte výrazy y a přidejte (dy/dx) vedle každého výrazu

Pro další krok stačí odvodit výrazy y stejným způsobem, jakým jste odvodili výrazy x. Tentokrát však přidejte (dy/dx) vedle každého výrazu, jako byste přidali koeficienty. Pokud například snížíte y², pak se derivát stane 2y (dy/dx). Podmínky, které mají xay, prozatím ignorujte.

• V našem příkladu naše rovnice nyní vypadá takto: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Další krok odvození y provedeme následovně:

  2x + r² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Snižte sílu 2 za r² jako koeficienty odebereme y za 8 let a vedle každého výrazu dáme dy/dx).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Krok 3. Použijte pravidlo produktu nebo pravidlo kvocientu pro výrazy s xay

Práce s výrazy, které mají x a y, je trochu ošidná, ale pokud znáte pravidla pro součin a kvocient pro deriváty, přijde vám to jednoduché. Pokud se násobí výrazy x a y, použijte pravidlo produktu ((f × g) '= f' × g + g × f ') nahrazením výrazu x za f a výrazu y za g. Na druhou stranu, pokud se termíny x a y vzájemně vylučují, použijte pravidlo kvocientu ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²) nahrazením čitatele f a jmenovatele g.

• V našem případě 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, máme pouze jeden výraz, který má xay - 2xy². Protože x a y se navzájem vynásobí, použijeme pro odvození pravidla součin následovně:

  2xy² = (2x) (r²)- nastavte 2x = f a y² = g v (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (r²) + (2x) × (r²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2 roky² + 4xy (dy/dx)

• Když to přidáme k naší hlavní rovnici, dostaneme 2x + 2 roky (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2 roky² + 4xy (dy/dx) = 0

Krok 4. Sám (dy/dx)

Jsi skoro hotový! Nyní stačí vyřešit rovnici (dy/dx). Zdá se to obtížné, ale obvykle není - pamatujte, že jakékoli dva výrazy a a b jsou vynásobeny (dy/dx) lze zapsat jako (a + b) (dy/dx) kvůli distribuční vlastnosti násobení. Tato taktika může usnadnit izolaci (dy/dx) - stačí přesunout všechny ostatní výrazy na druhou stranu závorek a poté je rozdělit podle výrazů v závorkách vedle (dy/dx).

• V našem příkladu zjednodušíme 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 následovně:

  2x + 2 roky (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2 roky² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2r² = 0

  (2 roky + 8 + 4 x) (dy/dx) = -2 roky² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2 roky² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2 roky² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metoda 2 ze 2: Použití pokročilých technik

Krok 1. Zadejte hodnotu (x, y) a najděte (dy/dx) pro libovolný bod

Bezpečný! Svou rovnici jste již odvodili implicitně - není to jednoduchá práce na první pokus! Použití této rovnice k nalezení gradientu (dy/dx) pro jakýkoli bod (x, y) je stejně snadné jako připojení hodnot xay pro váš bod na pravou stranu rovnice a poté nalezení (dy/dx).

• Předpokládejme například, že chceme najít gradient v bodě (3, -4) pro naši příkladovou rovnici výše. Chcete -li to provést, nahradíme 3 za x a -4 za y, vyřešíme následovně:

  (dy/dx) = (-2 roky² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, nebo 0, 6875.

Krok 2. Použijte řetězové pravidlo pro funkce v rámci funkcí

Řetězové pravidlo je důležitou znalostí, kterou je třeba mít při práci na úlohách s kalkulem (včetně problémů s derivací implicitní funkce). Řetězové pravidlo uvádí, že pro funkci F (x), kterou lze zapsat jako (f Ó g) (x), derivát F (x) se rovná f '(g (x)) g' (x). U obtížných problémů s derivační funkcí implicitní funkce to znamená, že je možné odvodit různé jednotlivé části rovnice a poté kombinovat výsledky.

• Jako jednoduchý příklad předpokládejme, že musíme najít derivaci hříchu (3x² + x) jako součást většího derivačního problému implicitní funkce pro rovnici sin (3x² + x) + y³ = 0. Pokud si představíme hřích (3x² + x) jako f (x) a 3x² + x jako g (x), derivát můžeme najít následovně:

  f '(g (x)) g' (x)

  (hřích (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Krok 3. Pro rovnice s proměnnými x, y a z najděte (dz/dx) a (dz/dy)

Ačkoli je to v základním počtu neobvyklé, některé pokročilé aplikace mohou vyžadovat odvození implicitních funkcí více než dvou proměnných. Pro každou další proměnnou musíte najít její další derivaci vzhledem k x. Pokud například máte x, y a z, měli byste hledat jak (dz/dy), tak (dz/dx). Můžeme to udělat tak, že dvakrát odvodíme rovnici s ohledem na x - nejprve zadáme (dz/dx) pokaždé, když odvodíme termín obsahující z, a zadruhé vložíme (dz/dy) pokaždé, když odvodíme z. Poté je to jen otázka řešení (dz/dx) a (dz/dy).

• Řekněme například, že se snažíme odvodit x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Nejprve odvodíme od x a zadáme (dz/dx). V případě potřeby nezapomeňte použít pravidlo produktu!

  X³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 let⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 let⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 let⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 let⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Nyní proveďte totéž pro (dz/dy)

  X³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3 roky²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3 roky² + 25x⁴z

  (dz/dy) = (3 roky² + 25x⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)