Determinant matic se často používá v počtu, lineární algebře a geometrii na vyšší úrovni. Mimo akademickou sféru používají inženýři a programátoři počítačové grafiky matice a jejich determinanty neustále. Pokud již víte, jak určit determinant matice řádu 2x2, stačí se naučit, kdy použít sčítání, odčítání a časy k určení determinantu matice řádu 3x3.
Krok
Část 1 ze 2: Stanovení determinant
Napište svou matici pořadí 3 x 3. Začneme maticí A řádu 3x3 a pokusíme se najít determinant | A |. Níže je obecná forma maticového zápisu, kterou použijeme, a příklad naší matice:
| A11 | A12 | A13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | A21 | A22 | A23 | = | 2 | 4 | 7 |
| A31 | A32 | A33 | 4 | 6 | 2 |
Krok 1. Vyberte řádek nebo sloupec
Vyberte svůj referenční řádek nebo sloupec. Ať už si vyberete cokoli, dostanete stále stejnou odpověď. Dočasně vyberte první řádek. V další části vám poskytneme několik návrhů na výběr možnosti nejjednoduššího výpočtu.
Vyberte první řádek vzorové matice A. Zakroužkujte číslo 1 5 3. Ve společném zápisu zakroužkujte a11 A12 A13.
Krok 2. Přeškrtněte řádek a sloupec prvního prvku
Podívejte se na řádek nebo sloupec, který jste zakroužkovali, a vyberte první prvek. Přeškrtněte řádky a sloupce. Zůstanou pouze 4 čísla nedotčená. Udělejte z těchto 4 čísel matici řádu 2 x 2.
- V našem případě je náš referenční řádek 1 5 3. První prvek je v 1. řádku a 1. sloupci. Škrtněte celou 1. řadu a 1. sloupec. Zapište zbývající prvky do matice 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Krok 3. Určete determinant matice řádu 2 x 2
Pamatujte, určete determinant matice [AC bd] od ad - bc. Možná jste se také naučili určovat determinant matice nakreslením X mezi matici 2 x 2. Vynásobte dvě čísla spojená přímkou / z X. Poté odečtěte, kolikrát byla dvě čísla spojená čárou / jsou. Tento vzorec použijte k výpočtu determinantu matice 2 x 2.
- V tomto případě je determinant matice [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Tento determinant se nazývá Méně důležitý prvků, které jste vybrali v počáteční matici. V tomto případě jsme právě našli menší a11.
Krok 4. Vynásobte počet nalezený prvkem, který jste vybrali
Pamatujte, že jste vybrali prvky z referenčního řádku (nebo sloupce), když jste se rozhodovali, které řádky a sloupce se mají vyškrtnout. Vynásobte tento prvek determinantem matice 2 x 2, kterou jste našli.
V příkladu vybereme a11 což je 1. Vynásobením tohoto čísla o -34 (determinant matice 2 x 2) získáte 1*-34 = - 34.
Krok 5. Určete symbol své odpovědi
Dalším krokem je, že svoji odpověď musíte znásobit 1 nebo -1 kofaktor vybraného prvku. Použitý symbol závisí na tom, kde jsou prvky v matici 3 x 3. Tato tabulka symbolů se používá k určení multiplikátoru vašeho prvku:
- + - +
- - + -
- + - +
- Protože jsme si vybrali a11 který je označen a +, číslo vynásobíme +1 (nebo jinými slovy neměňte). Odpověď, která se objeví, bude stejná, jmenovitě - 34.
- Dalším způsobem, jak definovat symbol, je použít vzorec (-1) i+j kde i a j jsou řádkové a sloupcové prvky.
Krok 6. Tento postup opakujte pro druhý prvek ve vašem referenčním řádku nebo sloupci
Vraťte se k původní matici 3 x 3, ve které jste dříve zakroužkovali řádek nebo sloupec. Opakujte stejný postup s prvkem:
-
Škrtněte řádek a sloupec prvku.
V takovém případě vyberte prvek a12 (což má hodnotu 5). Škrtněte 1. řadu (1 5 3) a 2. sloupec (5 4 6).
-
Proměňte zbývající prvky v matici 2x2.
V našem případě je matice pořadí 2x2 pro druhý prvek [24 72].
-
Určete determinant této matice 2x2.
Použijte vzorec ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Vynásobte prvky zvolené matice 3x3.
-24 * 5 = -120
-
Rozhodněte, zda výše uvedený výsledek znásobíte -1 nebo ne.
Použijte tabulku symbolů nebo vzorců (-1)ij. Vyberte prvek a12 symbolizováno - v tabulce symbolů. Nahraďte náš symbol odpovědi tímto: (-1)*(-120) = 120.
Krok 7. Opakujte stejný postup pro třetí prvek
K určení determinantu máte ještě jeden kofaktor. Počítejte i pro třetí prvek ve vašem referenčním řádku nebo sloupci. Zde je rychlý způsob výpočtu kofaktoru a13 v našem příkladu:
- Škrtnutím 1. řádku a 3. sloupce získáte [24 46].
- Determinant je 2*6 - 4*4 = -4.
- Vynásobte podle prvku a13: -4 * 3 = -12.
- Prvek a13 symbol + v tabulce symbolů, takže odpověď je - 12.
Krok 8. Sečtěte výsledky svých tří počtů
Toto je poslední krok. Vypočítali jste tři kofaktory, jeden pro každý prvek v řádku nebo sloupci. Sečtěte tyto výsledky a najdete determinant matice 3 x 3.
V tomto případě je determinant matice - 34 + 120 + - 12 = 74.
Část 2 ze 2: Usnadnění řešení problémů
Krok 1. Vyberte řádek nebo sloupec odkazů, které mají nejvíce 0 s
Nezapomeňte, že můžete vybrat libovolný řádek nebo sloupec. Ať už si vyberete cokoli, odpověď bude stejná. Pokud vyberete řádek nebo sloupec s číslem 0, stačí vypočítat kofaktor s prvky, které nejsou 0, protože:
- Vyberte například 2. řádek, který obsahuje prvek a21, a22, fond23. K vyřešení tohoto problému použijeme 3 různé matice 2 x 2, řekněme A21, A.22, Vy23.
- Determinant matice 3x3 je a21| A.21| - a22| A.22| + a23| A.23|.
- Pokud22 fond23 hodnota 0, stávající vzorec bude a21| A.21| - 0*| A.22| + 0*| A.23| = a21| A.21| - 0 + 0 = a21| A.21|. Proto budeme počítat pouze kofaktor pouze jednoho prvku.
Krok 2. K usnadnění problémů s maticí použijte další řádky
Pokud vezmete hodnoty z jednoho řádku a přidáte je do jiného řádku, determinant matice se nezmění. Totéž platí pro sloupce. Můžete to udělat opakovaně nebo vynásobit konstantou před přidáním, abyste získali co nejvíce 0 v matici. To může ušetřit spoustu času.
- Například máte matici se 3 řádky: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Chcete -li odstranit číslo 9, které je v poloze a11, můžete vynásobit hodnotu ve 2. řádku o -3 a výsledek přidat do prvního řádku. Nyní je nový první řádek [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Nová matice má řádky [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Použijte stejný trik na sloupcích k vytvoření a12 být číslo 0.
Krok 3. Použijte rychlou metodu pro trojúhelníkové matice
V tomto zvláštním případě je determinant součinem prvků na hlavní úhlopříčce a11 vlevo nahoře a33 v pravém dolním rohu matice. Tato matice je stále matice 3x3, ale matice „trojúhelníku“má speciální vzor čísel, která nejsou 0:
- Horní trojúhelníková matice: Všechny prvky, které nejsou 0, jsou na hlavní diagonále nebo nad ní. Všechna čísla pod hlavní úhlopříčkou jsou 0.
- Dolní trojúhelníková matice: Všechny prvky, které nejsou 0, jsou na hlavní diagonále nebo pod ní.
- Diagonální matice: Všechny prvky, které nejsou 0, jsou na hlavní diagonále (podmnožina výše uvedených typů matic).
Tipy
- Pokud jsou všechny prvky v řádku nebo sloupci 0, je determinant matice 0.
- Tuto metodu lze použít pro všechny velikosti kvadratických matic. Pokud například použijete tuto metodu pro matici řádu 4x4, váš „úder“zanechá matici řádu 3x3, jejíž determinant lze určit podle výše uvedených kroků. Pamatujte, že to může být nuda!
