6 způsobů, jak faktorovat polynomy druhého stupně (čtvercové rovnice)

2025 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2025-01-23 12:14

Polynom obsahuje proměnnou (x) s mocninou známou jako stupeň a několik výrazů a/nebo konstant. Faktorovat polynom znamená rozdělit rovnici na jednodušší rovnice, které lze znásobit. Tato dovednost je v Algebře 1 a vyšší a může být obtížné ji pochopit, pokud vaše matematické dovednosti nejsou na této úrovni.

Krok

Start

Krok 1. Nastavte svou rovnici

Standardní formát kvadratické rovnice je:

sekera² + bx + c = 0

Začněte tím, že ve své rovnici objednáte výrazy od nejvyššího po nejnižší výkon, stejně jako v tomto standardním formátu. Například:

6 + 6x² + 13x = 0

Změníme pořadí této rovnice, aby se s ní snáze pracovalo prostým přesunutím výrazů:

6x² + 13x + 6 = 0

Krok 2. Najděte form factor pomocí jedné z následujících metod

Faktorování polynomu vede ke dvěma jednodušším rovnicím, které lze vynásobit za vzniku původního polynomu:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

V tomto případě (2x + 3) a (3x + 2) jsou faktory původní rovnice, 6x² +13x+6.

Krok 3. Zkontrolujte svou práci

Znásobte faktory, které máte. Poté spojte podobné výrazy a máte hotovo. Začít s:

(2x + 3) (3x + 2)

Zkusme znásobit termíny pomocí PLDT (první - venku - uvnitř - poslední), výsledkem je:

6x² + 4x + 9x + 6

Odtud můžeme sčítat 4x a 9x, protože jsou jako termíny. Víme, že naše faktory jsou správné, protože dostaneme naši původní rovnici:

6x² + 13x + 6

Metoda 1 ze 6: Pokus a chyba

Pokud máte poměrně jednoduchý polynom, možná budete schopni najít faktory sami pouhým pohledem na ně. Například po cvičení může mnoho matematiků zjistit, že rovnice 4x² + 4x + 1 má faktor (2x + 1) a (2x + 1) pouhým častým prohlížením. (U složitějších polynomů to samozřejmě nebude snadné). V tomto příkladu použijeme méně často používanou rovnici:

3x² + 2x - 8

Krok 1. Napište si seznam faktorů termínu a a termínu c

Použití formátu rovnice osy² + bx + c = 0, určete výrazy aac a zapište faktory, které oba výrazy mají. Za 3x² + 2x - 8, což znamená:

a = 3 a má sadu faktorů: 1 * 3

c = -8 a má čtyři sady faktorů: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 a -1 * 8.

Krok 2. Zapište si dvě sady závorek s mezerami

Vytvořená prázdná místa vyplníte konstantami pro každou rovnici:

(x) (x)

Krok 3. Vyplňte mezery před x možnými dvojicemi faktorů pro hodnotu a

Pro výraz a v našem příkladu 3x², pro náš příklad existuje pouze jedna možnost:

(3x) (1x)

Krok 4. Vyplňte dvě mezery po x dvojicemi faktorů pro konstantu

Předpokládejme, že vybereme 8 a 1. Napište do nich:

(3x

Krok 8.)(

Krok 1

Krok 5. Určete znaménko (plus nebo mínus) mezi proměnnou x a číslem

V závislosti na znaménkách v původní rovnici může být možné hledat značky pro konstanty. Předpokládejme, že těmto dvěma faktorům říkáme dvě konstanty h a k:

Pokud sekera² + bx + c pak (x + h) (x + k)

Pokud sekera² - bx - c nebo sekera² + bx - c pak (x - h) (x + k)

Pokud sekera² - bx + c pak (x - h) (x - k)

Pro náš příklad 3x² + 2x - 8, znaménka jsou: (x - h) (x + k), což nám dává dva faktory:

(3x + 8) a (x - 1)

Krok 6. Otestujte své volby pomocí násobení první v posledním (PLDT)

První rychlý test je zjistit, zda má střednědobý termín alespoň správnou hodnotu. Pokud ne, možná jste vybrali špatné c faktory. Otestujme naši odpověď:

(3x + 8) (x - 1)

Násobením získáme:

3x² - 3x + 8x - 8

Zjednodušením této rovnice přidáním podobných výrazů (-3x) a (8x) získáme:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Nyní víme, že jsme museli použít nesprávné faktory:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Krok 7. V případě potřeby změňte svůj výběr

V našem příkladu zkusme 2 a 4 místo 1 a 8:

(3x + 2) (x - 4)

Nyní je náš výraz c -8, ale náš vnější/vnitřní produkt (3x * -4) a (2 * x) je -12x a 2x, což v kombinaci nevytvoří správný výraz b +2x.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Krok 8. V případě potřeby objednávku otočte

Zkusme prohodit 2 a 4:

(3x + 4) (x - 2)

Nyní je náš výraz c (4 * 2 = 8) správný, ale vnější/vnitřní součin je -6x a 4x. Pokud je spojíme:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Jsme docela blízko k 2x, které hledáme, ale značka je špatná.

Krok 9. V případě potřeby značky dvakrát zkontrolujte

Použijeme stejné pořadí, ale vyměníme rovnice se znaménkem minus:

(3x - 4) (x + 2)

Nyní termín c není žádný problém a aktuální vnější/vnitřní součin je (6x) a (-4x). Protože:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Nyní můžeme použít kladné 2x z původního problému. To musí být správné faktory.

Metoda 2 ze 6: Rozklad

Tato metoda identifikuje všechny možné faktory výrazů aac a použije je k nalezení správných faktorů. Pokud jsou čísla příliš velká nebo se hádání zdá časově náročné, použijte tuto metodu. Použijme příklad:

6x² + 13x + 6

Krok 1. Vynásobte termín a výrazem c

V tomto případě a je 6 a c je také 6.

6 * 6 = 36

Krok 2. Získejte termín b faktoringem a testováním

Hledáme dvě čísla, která jsou faktory produktu a * c, které jsme identifikovali a také sčítají k výrazu b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Krok 3. Nahraďte dvě čísla, která získáte do své rovnice v důsledku přidání výrazu b

Pojďme použít k a h k reprezentaci dvou čísel, která máme, 4 a 9:

sekera² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Krok 4. Faktor polynomu seskupením

Uspořádejte rovnice tak, abyste mohli vzít největší společný faktor prvního i druhého výrazu. Skupina faktorů musí být stejná. Přidejte největší společný faktor a umístěte jej do závorek vedle skupiny faktorů; výsledkem jsou vaše dva faktory:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 ze 6: Triple Play

Podobně jako u metody rozkladu, metoda triple play zkoumá možné faktory vynásobení výrazů a a c a použití hodnoty b. Zkuste použít tuto příkladovou rovnici:

8x² + 10x + 2

Krok 1. Vynásobte termín a výrazem c

Stejně jako metoda analýzy nám to pomůže identifikovat kandidáty na termín b. V tomto případě a je 8 a c je 2.

8 * 2 = 16

Krok 2. Najděte dvě čísla, která po vynásobení čísly vygenerují toto číslo s celkovým součtem rovným výrazu b

Tento krok je stejný jako analýza - testujeme a zahodíme kandidáty pro konstantu. Součin výrazů aac je 16 a výraz c je 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Krok 3. Vezměte tato dvě čísla a vyzkoušejte je zapojením do vzorce trojité hry

Vezměte naše dvě čísla z předchozího kroku - nazvěme je h a k - a zapojte je do rovnice:

((ax + h) (ax + k))/ a

Získáme:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Krok 4. Všimněte si, zda jsou některé z těchto dvou výrazů v čitateli dělitelné a

V tomto příkladu jsme viděli, zda (8x + 8) nebo (8x + 2) je dělitelné 8. (8x + 8) je dělitelné 8, takže tento výraz vydělíme a a ostatní faktory necháme na pokoji.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Termín v závorkách je to, co zbylo poté, co vydělíme výrazem a.

Krok 5. Vezměte největší společný faktor (GCF) jednoho nebo obou výrazů, pokud existují

V tomto případě má druhý člen GCF 2, protože 8x + 2 = 2 (4x + 1). Zkombinujte tento výsledek s výrazem, který jste získali z předchozího kroku. To jsou faktory ve vaší rovnici.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 ze 6: Rozdíl odmocnin

Některé koeficienty v polynomech mohou být „čtverce“nebo součin dvou čísel. Identifikace těchto čtverců vám umožní rychleji rozdělit více polynomů. Zkuste tuto rovnici:

27x² - 12 = 0

Krok 1. Vyjměte pokud možno největší společný faktor

V tomto případě vidíme, že 27 a 12 jsou dělitelné 3, takže dostaneme:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Krok 2. Zjistěte, zda jsou koeficienty vaší rovnice čtvercová čísla

Chcete -li použít tuto metodu, musíte být schopni vzít druhou odmocninu obou výrazů. (Všimněte si, že záporné znaménko budeme ignorovat - protože tato čísla jsou čtverce, mohou být součinem dvou kladných nebo záporných čísel)

9x² = 3x * 3x a 4 = 2 * 2

Krok 3. Pomocí odmocniny, kterou jste dostali, zapište faktory

Vezmeme hodnoty aac z našeho výše uvedeného kroku - a = 9 a c = 4, poté najdeme druhou odmocninu - a = 3 a c = 2. Výsledkem je koeficient faktorové rovnice:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 ze 6: Kvadratický vzorec

Pokud vše ostatní selže a rovnici nelze započítat jako celek, použijte kvadratický vzorec. Zkuste tento příklad:

X² + 4x + 1 = 0

Krok 1. Zadejte požadované hodnoty do kvadratického vzorce:

x = -b ± (ž² - 4ac)

2a

Dostaneme rovnici:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Krok 2. Najděte hodnotu x

Získáte dvě hodnoty. Jak je uvedeno výše, dostaneme dvě odpovědi:

x = -2 + (3) nebo x = -2 -(3)

Krok 3. Pomocí své hodnoty x najděte faktory

Zapojte hodnoty x, které máte, do dvou polynomických rovnic jako konstanty. Výsledkem jsou vaše faktory. Pokud své odpovědi nazveme h a k, zapíšeme si tyto dva faktory následovně:

(x - h) (x - k)

V tomto příkladu je naše konečná odpověď:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

Metoda 6 ze 6: Použití kalkulačky

Pokud máte povoleno používat kalkulačku, kalkulačka grafů výrazně usnadňuje proces faktoringu, zejména pro standardizované testy. Tyto pokyny platí pro grafickou kalkulačku TI. Použijeme příkladovou rovnici:

y = x² x 2

Krok 1. Zadejte svou rovnici do kalkulačky

Použijete faktoring rovnice, která je na obrazovce napsána [Y =].

Krok 2. Vytvořte si graf pomocí rovnice

Když zadáte svou rovnici, stiskněte [GRAF] - uvidíte hladkou křivku, která představuje vaši rovnici (a tvar je křivka, protože používáme polynomy).

Krok 3. Najděte místo, kde se křivka protíná s osou x

Protože polynomiální rovnice jsou obvykle psány jako sekera² + bx + c = 0, tato křižovatka je druhou hodnotou x, která způsobuje, že rovnice je nulová:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Pokud nemůžete při pohledu na graf identifikovat, kde se graf protíná s osou x, stiskněte [2.] a poté [TRACE]. Stiskněte [2] nebo vyberte nulu. Přesuňte kurzor vlevo od křižovatky a stiskněte [ENTER]. Přesuňte kurzor napravo od křižovatky a stiskněte [ENTER]. Přesuňte kurzor co nejblíže ke křižovatce a stiskněte [ENTER]. Kalkulačka najde hodnotu x. Udělejte to také pro ostatní křižovatky

Krok 4. Zapojte hodnotu x získanou z předchozího kroku do dvou faktoriálních rovnic

Pokud bychom pojmenovali obě naše hodnoty x h a k, rovnice, které bychom použili, by byly:

(x - h) (x - k) = 0

Naše dva faktory jsou tedy:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tipy

• Pokud máte kalkulačku (graf) TI-84, existuje program SOLVER, který vyřeší vaše kvadratické rovnice. Tento program vyřeší polynomy jakéhokoli stupně.
• Pokud termín není zapsán, je koeficient 0. Je užitečné přepsat rovnici, pokud tomu tak je, například: x² + 6 = x² +0x+6.
• Pokud jste svůj polynom faktorizovali pomocí kvadratického vzorce a dostali jste odpověď z hlediska kořenů, možná budete chtít převést hodnotu x na zlomek, který chcete zkontrolovat.
• Pokud výraz nemá žádný psaný koeficient, je koeficient 1, například: x² = 1x².
• Po dostatečném tréninku budete nakonec schopni faktorovat polynomy ve své hlavě. Dokud to nedokážete, nezapomeňte si vždy napsat postup.