Při grafickém znázornění má kvadratická rovnice tvar sekera2 + bx + c nebo a (x - h)2 + k tvoří písmeno U nebo obrácenou křivku U nazývanou parabola. Vytvoření grafu kvadratické rovnice hledá vrchol, směr a často průsečík x a y. V případech poměrně jednoduchých kvadratických rovnic může stačit zadání sady hodnot x a vykreslení křivky na základě výsledných bodů. Začněte viz krok 1 níže.
Krok
Krok 1. Určete tvar kvadratické rovnice, kterou máte
Kvadratické rovnice lze psát ve třech různých formách: obecná forma, vrcholová forma a kvadratická forma. K vykreslení kvadratické rovnice můžete použít libovolný formulář; proces znázornění každého grafu se mírně liší. Pokud děláte domácí úkoly, budete obvykle dostávat otázky v jedné z těchto dvou forem - jinými slovy, nebudete si moci vybrat, takže je nejlepší porozumět oběma. Dvě formy kvadratické rovnice jsou:
-
Obecná forma.
V této podobě je kvadratická rovnice zapsána jako: f (x) = ax2 + bx + c kde a, b, a c jsou reálná čísla a a není nula.
Například dvě kvadratické rovnice obecného tvaru jsou f (x) = x2 + 2x + 1 af (x) = 9x2 + 10x -8.
-
Špičkový tvar.
V této podobě je kvadratická rovnice zapsána jako: f (x) = a (x - h)2 + k kde a, h a k jsou reálná čísla a a není nula. Říká se mu vrchol, protože h a k okamžitě poskytne vrchol (střed) vaší paraboly v bodě (h, k).
Dvě rovnice tvaru vrcholu jsou f (x) = 9 (x - 4)2 + 18 a -3 (x - 5)2 + 1
- Abychom mohli vykreslit jakýkoli typ rovnice, musíme nejprve najít vrchol paraboly, což je střed (h, k) na konci křivky. Souřadnice vrcholů v obecné formě se vypočítají jako: h = -b/2a a k = f (h), zatímco ve formě píků jsou h a k v rovnici.
Krok 2. Definujte proměnné
Aby bylo možné vyřešit kvadratický problém, musí být obvykle definovány proměnné a, b, ac (nebo a, h, k). Běžný problém s algebrou poskytne kvadratickou rovnici s dostupnými proměnnými, obvykle v obecné formě, ale někdy ve špičkové formě.
- Například pro rovnici obecného tvaru f (x) = 2x2 + 16x + 39, máme a = 2, b = 16, a c = 39.
- Pro rovnici tvaru píku f (x) = 4 (x - 5)2 + 12, máme a = 4, h = 5, a k = 12.
Krok 3. Vypočítejte h
V rovnici vrcholů je vaše hodnota h již dána, ale v obecné rovnici tvaru musí být hodnota h vypočítána. Pamatujte, že pro rovnice obecného tvaru platí h = -b/2a.
- V našem obecném příkladu (f (x) = 2x2 + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Po vyřešení zjistíme, že h = - 4.
- V našem příkladu vrcholů (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12), víme, že h = 5, aniž bychom museli počítat.
Krok 4. Vypočítejte k
Stejně jako h, k je již v rovnici vrcholné formy známé. U rovnic obecného tvaru pamatujte na to, že k = f (h). Jinými slovy, můžete najít k nahrazením všech hodnot x ve vaší rovnici hodnotami h, které jste právě našli.
-
Již jsme v našem obecném příkladu určili, že h = -4. Abychom našli k, vyřešíme naši rovnici vložením hodnoty h místo x:
- k = 2 (-4)2 + 16(-4) + 39.
- k = 2 (16) - 64 + 39.
-
k = 32 - 64 + 39 =
Krok 7.
- V našem příkladu vrcholné formy opět známe hodnotu k (což je 12), aniž bychom museli dělat jakoukoli matematiku.
Krok 5. Nakreslete svůj vrchol
Vrchol vaší paraboly je bod (h, k)-h představuje souřadnici x, zatímco k představuje souřadnici y. Vrchol je středem vaší paraboly - buď ve spodní části U, nebo v horní části obráceného U. Znalost vrcholů je důležitou součástí kreslení přesné paraboly - ve škole je často určování vrcholu částí, kterou je třeba v otázce hledat.
- V našem obecném příkladu je náš vrchol (-4, 7). Naše parabola tedy vyvrcholí o 4 kroky vlevo od 0 a 7 kroků výše (0, 0). Tento bod musíme znázornit v našem grafu a ujistit se, že jsme označili souřadnice.
- V našem příkladu vrcholové formy je náš vrchol (5, 12). Musíme nakreslit bod 5 kroků vpravo a 12 kroků výše (0, 0).
Krok 6. Nakreslete osu paraboly (volitelně)
Osa symetrie paraboly je přímka, která prochází jejím středem a rozděluje ji přesně uprostřed. Na této ose bude levá strana paraboly odrážet pravou stranu. Pro kvadratické rovnice ve tvaru sekera2 + bx + c nebo a (x - h)2 + k, osa symetrie je čára, která je rovnoběžná s osou y (jinými slovy přesně svislá) a prochází vrcholem.
V případě našeho obecného příkladu formy je osou čára rovnoběžná s osou y procházející bodem (-4, 7). Přestože není součástí paraboly, tenké označení této čáry v grafu vám nakonec pomůže vidět symetrický tvar parabolické křivky
Krok 7. Najděte směr otevírání paraboly
Poté, co poznáme vrchol a osu paraboly, musíme dále vědět, zda se parabola otevírá nahoru nebo dolů. Naštěstí je to snadné. Pokud je hodnota a kladná, parabola se otevře směrem nahoru, zatímco pokud je hodnota a záporná, parabola se otevře směrem dolů (tj. Parabola bude převrácena).
- Pro náš obecný příklad (f (x) = 2x2 + 16x + 39), víme, že máme parabolu, která se otevírá, protože v naší rovnici a = 2 (pozitivní).
- Pro náš příklad vrcholové formy (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12), víme, že máme také parabolu, která se otevírá, protože a = 4 (pozitivní).
Krok 8. V případě potřeby najděte a nakreslete intercept x
Při školní práci budete často požádáni, abyste našli x-intercept v parabole (což je jeden nebo dva body, kde se parabola setkává s osou x). I když žádný nenajdete, tyto dva body jsou pro kreslení přesné paraboly velmi důležité. Ne všechny paraboly však mají intercept x. Pokud má vaše parabola vrchol, který se otevírá a jeho vrchol je nad osou x nebo pokud se otevírá směrem dolů a jeho vrchol je pod osou x, parabola nebude mít žádný x-posun. V opačném případě vyřešte svůj x-intercept jedním z následujících způsobů:
-
Stačí udělat f (x) = 0 a vyřešit rovnici. Tuto metodu lze použít pro jednoduché kvadratické rovnice, zejména ve špičkové formě, ale pro složité rovnice bude velmi obtížná. Příklad viz níže
- f (x) = 4 (x - 12)2 - 4
- 0 = 4 (x - 12)2 - 4
- 4 = 4 (x - 12)2
- 1 = (x - 12)2
- Kořen (1) = (x - 12)
- +/- 1 = x -12. x = 11 a 13 je průsečík x v parabole.
-
Faktor vaší rovnice. Některé rovnice ve tvaru sekera2 + bx + c lze snadno zapracovat do tvaru (dx + e) (fx + g), kde dx × fx = ax2(dx × g + fx × e) = bx a e × g = c. V tomto případě jsou vaše x-interceptů x hodnot, které vytvoří jakýkoli výraz v závorkách = 0. Například:
- X2 + 2x + 1
- = (x + 1) (x + 1)
- V tomto případě je váš jediný x -průsečík -1, protože když se x rovná -1, bude jakýkoli faktorový faktor v závorkách roven 0.
-
Použijte kvadratický vzorec. Pokud nemůžete snadno vyřešit svůj x-intercept nebo faktor vaší rovnice, použijte speciální rovnici nazývanou kvadratický vzorec, která byla vytvořena pro tento účel. Pokud to ještě není vyřešeno, převeďte svou rovnici na tvar osy2 + bx + c, pak zadejte a, b, ac do vzorce x = (-b +/- sqrt (b)2 - 4ac))/2a. Všimněte si, že tato metoda vám často dává dvě odpovědi na hodnotu x, což je v pořádku-to jen znamená, že vaše parabola má dva x interceptů. Příklad viz níže:
- -5x2 + 1x + 10 se vloží do kvadratického vzorce takto:
- x = (-1 +/- Kořen (1.)2 - 4(-5)(10)))/2(-5)
- x = (-1 +/- Kořen (1 + 200))/-10
- x = (-1 +/- Kořen (201))/-10
- x = (-1 +/- 14, 18)/-10
- x = (13, 18/-10) a (-15, 18/-10). Intercept x v parabole je x = - 1, 318 a 1, 518
- Náš předchozí příklad obecné formy, 2x2 +16x+39 se do kvadratického vzorce vloží následovně:
- x = (-16 +/- Kořen (162 - 4(2)(39)))/2(2)
- x = (-16 +/- Kořen (256- 312))/4
- x = (-16 +/- Kořen (-56)/-10
- Protože není možné najít odmocninu záporného čísla, víme, že tato parabola nemá žádný x-průsečík.
Krok 9. V případě potřeby najděte a nakreslete zachycení y
I když často není nutné hledat průsečík y v rovnicích (bod, kde parabola prochází osou y), možná ho nakonec budete muset najít, zvláště pokud jste ve škole. Tento proces je poměrně jednoduchý-stačí vytvořit x = 0, poté vyřešit svou rovnici pro f (x) nebo y, což dává hodnotu y, kde vaše parabola prochází osou y. Na rozdíl od x-interceptu může mít pravidelná parabola pouze jeden y-intercept. Poznámka-pro rovnice obecného tvaru je průsečík y na y = c.
-
Například víme, že naše kvadratická rovnice je 2x2 + 16x + 39 má průsečík y na y = 39, ale lze jej nalézt také následujícím způsobem:
- f (x) = 2x2 +16x+39
- f (x) = 2 (0)2 + 16(0) + 39
-
f (x) = 39. Průsečík y paraboly je na y = 39.
Jak bylo uvedeno výše, průsečík y je na y = c.
-
Forma naší vrcholové rovnice je 4 (x - 5)2 + 12 má y-intercept, který lze nalézt následujícím způsobem:
- f (x) = 4 (x - 5)2 + 12
- f (x) = 4 (0 - 5)2 + 12
- f (x) = 4 (-5)2 + 12
- f (x) = 4 (25) + 12
-
f (x) = 112. Průsečík y paraboly je na y = 112.
Krok 10. V případě potřeby nakreslete další body a poté nakreslete graf
Nyní máte ve své rovnici vrchol, směr, x-intercept a případně y-intercept. V této fázi se můžete pokusit nakreslit svou parabolu pomocí bodů, které máte jako vodítko, nebo hledat jiné body pro vyplnění paraboly, aby křivka, kterou nakreslíte, byla přesnější. Nejjednodušší způsob, jak to udělat, je jednoduše zadat některé hodnoty x na libovolnou stranu vašeho vrcholu a poté tyto body vykreslit pomocí získaných hodnot y. Učitelé vás často požádají, abyste před nakreslením paraboly hledali několik bodů.
-
Podívejme se na rovnici x2 + 2x + 1. Už víme, že x -intercept je pouze v x = -1. Protože se křivka dotýká x-interceptu pouze v jednom bodě, můžeme dojít k závěru, že vrchol je jeho x-interceptem, což znamená, že vrchol je (-1, 0). Pro tuto parabolu máme ve skutečnosti pouze jeden bod - nestačí k nakreslení dobré paraboly. Podívejme se na další body, abychom se ujistili, že nakreslíme důkladný graf.
- Zjistíme hodnoty y pro následující hodnoty x: 0, 1, -2 a -3.
- Pro 0: f (x) = (0)2 + 2 (0) + 1 = 1. Náš bod je (0, 1).
-
Pro 1: f (x) = (1)2 + 2 (1) + 1 = 4. Náš bod je (1, 4).
- Pro -2: f (x) = (-2)2 + 2 (-2) + 1 = 1. Náš bod je (-2, 1).
-
Pro -3: f (x) = (-3)2 + 2 (-3) + 1 = 4. Náš bod je (-3, 4).
- Nakreslete tyto body do grafu a nakreslete křivku ve tvaru písmene U. Všimněte si, že parabola je dokonale symetrická - když jsou vaše body na jedné straně paraboly celá čísla, můžete obvykle omezit práci tak, že jednoduše odrazíte daný bod na ose symetrie paraboly, abyste našli stejný bod na druhé straně paraboly.
Tipy
- Zaokrouhlujte čísla nebo použijte zlomky podle požadavku svého učitele algebry. To vám pomůže lépe vykreslit kvadratickou rovnici.
- Všimněte si, že v f (x) = ax2 + bx + c, je -li b nebo c rovno nule, tato čísla zmizí. Například 12x2 + 0x + 6 se změní na 12x2 + 6, protože 0x je 0.
