Doplňování čtverců je užitečná technika, která vám pomůže vložit kvadratické rovnice do úhledné podoby, díky které je snadno uvidíte nebo dokonce vyřešíte. Můžete doplnit čtverce a vytvořit složitější kvadratické vzorce nebo dokonce vyřešit kvadratické rovnice. Pokud chcete vědět, jak na to, postupujte takto.
Krok
Část 1 ze 2: Převod obyčejných rovnic na kvadratické funkce
Krok 1. Zapište si rovnici
Předpokládejme, že chcete vyřešit následující rovnici: 3x2 - 4x + 5.
Krok 2. Vyjměte koeficienty kvadratických proměnných z prvních dvou částí
Chcete -li získat číslo 3 z prvních dvou částí, stačí vytáhnout číslo 3 a dát jej mimo závorky, přičemž každou část vydělíte 3x.2 děleno 3 je x2 a 4x děleno 3 je 4/3x. Nová rovnice se tedy stane: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Číslo 5 zůstává mimo rovnici, protože není děleno číslem 3.
Krok 3. Rozdělte druhou část na 2 a zarovnejte ji
Druhá část nebo to, co je v rovnici známé jako b, je 4/3. Dělit dvěma. 4/3 2, nebo 4/3 x 1/2, se rovná 2/3. Nyní tuto část zarovnejte na druhou mocninu sečtením čitatele a jmenovatele zlomku. (2/3)2 = 4/9. Zapište si to.
Krok 4. Sečtěte a odečtěte tyto části od rovnice
Tuto extra část budete potřebovat, abyste dostali rovnici zpět na perfektní čtverec. Musíte je však odečíst od zbytku rovnice, abyste je sečetli. I když to vypadá, že se vracíte k původní rovnici. Vaše rovnice vypadá takto: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Krok 5. Vyjměte část, kterou jste odečetli, ze závorek
Protože máte mimo závorky koeficient 3, nemůžete pouze vygenerovat -4/9. Nejprve to musíte vynásobit 3. -4/9 x 3 = -12/9 nebo -4/3. Pokud máte v sekci x koeficient 12, pak můžete tento krok přeskočit.
Krok 6. Změňte část v závorkách na dokonalý čtverec
Nyní existují 3 (x2 -4/3x +4/9) v závorkách. Už jste se pokusili získat 4/9, což je vlastně další způsob, jak doplnit náměstí. Můžete jej tedy přepsat jako: 3 (x - 2/3)2. Stačí rozdělit druhou polovinu a odstranit třetí. Svou práci můžete zkontrolovat tak, že ji znásobíte a vymyslíte první tři části rovnice.
-
3 (x - 2/3)2 =
Dokončete Square Step 6 Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3x + 4/9)
Krok 7. Zkombinujte konstanty
Nyní existují dvě konstanty nebo čísla, která nemají žádné proměnné. Nyní máte 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Jediné, co musíte udělat, je sečíst -4/3 a 5, abyste získali 11/3. Přidáte je srovnáním jmenovatelů: -4/3 a 15/3 a poté sečtením čísel tak, abyste dostali 11 a ponechali jmenovatele 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Dokončete Square Step 7Bullet1
Krok 8. Napište rovnici v kvadratické formě
Máte hotovo. Konečná rovnice je 3 (x - 2/3)2 +11/3. Koeficient 3 můžete eliminovat vydělením obou stran rovnice, abyste dostali (x - 2/3)2 +11/9. Úspěšně jste zapsali rovnici do kvadratické podoby, konkrétně a (x - h)2 +k, kde k představuje konstantu.
Část 2 ze 2: Řešení kvadratických rovnic
Krok 1. Zapište si otázky
Předpokládejme, že chcete vyřešit následující rovnici: 3x2 + 4x + 5 = 6
Krok 2. Zkombinujte stávající konstanty a umístěte je na levou stranu rovnice
Konstanta je jakékoli číslo, které nemá proměnnou. V tomto problému je konstanta 5 vlevo a 6 vpravo. Pokud se chcete posunout o 6 doleva, musíte odečíst obě strany rovnice o 6. Zbytek je 0 na pravé straně (6-6) a -1 na levé straně (5-6). Rovnice se stává: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Krok 3. Vytvoří koeficient kvadratické proměnné
V tomto problému je 3 koeficient x2. Chcete -li získat číslo 3, vyjměte číslo 3 a rozdělte každou část na 3. Takže, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x a 1 3 = 1/3. Rovnice se stává: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Krok 4. Vydělte konstantou, kterou jste právě extrahovali
To znamená, že můžete odstranit koeficient 3. Protože jste již rozdělili každou část 3, můžete odstranit číslo 3, aniž byste ovlivnili rovnici. Vaše rovnice se stane x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Krok 5. Vydělte druhou část dvěma a zarovnejte ji
Dále vezměte druhou část, 4/3 nebo část b, a vydělte ji 2. 4/3 2 nebo 4/3 x 1/2, rovná se 4/6 nebo 2/3. A 2/3 na druhou až 4/9. Jakmile ji zarovnáte na druhou, budete ji muset napsat na levou a pravou stranu rovnice, protože přidáváte novou část. Abyste to vyrovnali, musíte to napsat na obě strany. Rovnice se stává x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Krok 6. Přesuňte počáteční konstantu na pravou stranu rovnice a přidejte ji na druhou mocninu vašeho čísla
Posuňte počáteční konstantu -1/3 doprava, čímž bude 1/3. Přidejte čtverec vašeho čísla, 4/9 nebo 2/32. Najděte společného jmenovatele a přidejte 1/3 a 4/9 vynásobením horních a dolních zlomků 1/3 číslem 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Nyní přidejte 3/9 a 4/9, abyste získali 7/9 na pravé straně rovnice. Rovnice se stává: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 pak x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Krok 7. Zapište levou stranu rovnice jako dokonalý čtverec
Protože jste již použili vzorec k nalezení chybějícího kusu, těžká část byla přeskočena. Jediné, co musíte udělat, je vložit x a polovinu hodnoty druhého koeficientu do závorek a vycentrovat jej například: (x + 2/3)2. Všimněte si, že součin dokonalého čtverce poskytne tři části: x2 + 4/3 x + 4/9. Rovnice se stává: (x + 2/3)2 = 7/9.
Krok 8. Druhá odmocnina z obou stran
Na levé straně rovnice je odmocnina z (x + 2/3)2 je x + 2/3. Na pravé straně rovnice získáte +/- (√7)/3. Druhá odmocnina jmenovatele 9 je 3 a druhá odmocnina 7 je 7. Nezapomeňte napsat +/-, protože druhá odmocnina může být kladná nebo záporná.
Krok 9. Přesuňte proměnné
Chcete -li přesunout proměnnou x, přesuňte konstantu 2/3 na pravou stranu rovnice. Nyní máte dvě možné odpovědi pro x: +/- (√7)/3 - 2/3. Toto jsou vaše dvě odpovědi. Pokud chcete napsat odpověď bez druhé odmocniny, můžete to nechat na pokoji nebo najít hodnotu odmocniny 7.
Tipy
- Nezapomeňte napsat +/- na příslušné místo, jinak dostanete pouze jednu odpověď.
- I když znáte kvadratický vzorec, procvičujte si pravidelně dokončování čtverce buď prokázáním kvadratického vzorce, nebo řešením některých problémů. Tímto způsobem metodu nezapomenete, když ji budete potřebovat.
