Vektor je fyzikální veličina, která má velikost i směr (např. Rychlost, zrychlení a výtlak), na rozdíl od skaláru, který se skládá pouze z velikosti (např. Rychlost, vzdálenost nebo energie). Pokud lze skaláry přidat přidáním veličin (např. 5 kJ práce plus 6 kJ práce se rovná 11 kJ práce), vektory jsou trochu obtížné přidat nebo odečíst. Viz krok 1 níže, kde se dozvíte, jak přidat nebo odečíst vektory.
Krok
Metoda 1 ze 3: Sčítání a odčítání vektorů, jejichž součásti jsou známy
Krok 1. Zapište si rozměrové složky vektoru do vektorového zápisu
Protože vektory mají velikost a směr, lze je obvykle rozdělit na části na základě rozměrů x, y a/nebo z. Tyto dimenze jsou obvykle psány podobným zápisem pro popis bodu v souřadnicovém systému (např. A jiné). Pokud tuto část znáte, je přidání nebo odečtení vektorů velmi snadné, stačí přidat nebo odečíst jejich souřadnice x, y a z.
- Všimněte si, zda jsou rozměry vektoru 1, 2 nebo 3. Vektor tedy může mít komponenty x, x a y nebo x, y a z. Náš následující příklad používá 3-rozměrný vektor, ale proces je jako 1 nebo 2-rozměrný vektor.
- Předpokládejme, že máme dva trojrozměrné vektory, vektor A a vektor B. Tyto vektory můžeme zapsat pomocí vektorového zápisu, jako je A = a B =, kde a1 a a2 jsou složky x, b1 a b2 jsou složky y a c1 a c2 jsou komponenty z.
Krok 2. Chcete -li přidat dva vektory, sečtěte jejich součásti
Pokud jsou známy dvě složky vektoru, můžete vektory přidat přidáním složek každého z nich. Jinými slovy, přidejte x-komponentu prvního vektoru k x-komponentě druhého vektoru a proveďte totéž pro y a z. Odpověď, kterou získáte sečtením složek x, y a z těchto vektorů, je složka x, y a z vašeho nového vektoru.
- Obecně řečeno, A+B =.
- Sečteme dva vektory A a B. A = a B =. A + B =, nebo.
Krok 3. Chcete -li odečíst oba vektory, odečtěte jejich součásti
Jak budeme diskutovat později, odečtení jednoho vektoru od druhého lze považovat za přidání jeho vzájemných vektorů. Pokud jsou známy složky obou vektorů, je možné odečíst jeden vektor od druhého odečtením první složky od druhé složky (nebo přičtením záporných složek obou).
- Obecně řečeno, A-B =
- Odečteme dva vektory A a B. A = a B =. A - B =, nebo.
Metoda 2 ze 3: Sčítání a odčítání obrázků pomocí metody hlava a ocas
Krok 1. Symbolizujte vektor nakreslením pomocí hlavy a ocasu
Protože vektory mají velikost i směr, můžeme říci, že mají ocas a hlavu. Jinými slovy, vektor má počáteční bod a koncový bod, který udává směr vektoru, jehož vzdálenost od počátečního bodu se rovná velikosti vektoru. Po nakreslení má vektor tvar šipky. Špička šipky je hlava vektoru a konec vektorové čáry je ocas.
Pokud vytváříte vektorový výkres s kótami, budete muset přesně změřit a nakreslit všechny rohy. Špatný úhel obrázku ovlivní výsledný výsledek, když jsou pomocí této metody přidány nebo odečteny dva vektory
Krok 2. Chcete -li přidat, nakreslit nebo přesunout druhý vektor tak, aby se ocas setkal s hlavou prvního vektoru
Toto se nazývá kombinace vektorů hlava - ocas. Pokud právě sčítáte dva vektory, musíte zde najít, než najdete výsledný vektor.
Všimněte si, že na pořadí, ve kterém přidáváte vektory, nezáleží, za předpokladu, že používáte stejný počáteční bod. Vektor A + Vektor B = Vektor B + Veltor A
Krok 3. Chcete -li odečíst, přidejte do vektoru záporné znaménko
Redukce vektorů pomocí obrázků je velmi jednoduchá. Obraťte směr vektoru, ale udržujte velikost stejnou a sečtěte vektorovou hlavu a ocas jako obvykle. Jinými slovy, pro odečtení vektoru otočte vektor o 180Ó a sečíst.
Krok 4. Pokud přidáte nebo odečtete více než dva vektory, zkombinujte všechny vektory v pořadí od hlavy k ocasu
Na pořadí sloučení nezáleží. Tuto metodu lze použít bez ohledu na počet vektorů.
Krok 5. Nakreslete nový vektor od ocasu prvního vektoru k hlavě posledního vektoru
Ať už sčítáte/odčítáte dva vektory nebo stovku, vektor, který sahá od vašeho počátečního počátečního bodu (konec prvního vektoru) ke koncovému bodu vašeho posledního vektoru (hlava vašeho posledního vektoru), je výsledný vektor. nebo součet všech vašich vektorů. Všimněte si, že tento vektor je přesně stejný jako vektor získaný sečtením všech složek x, y a/nebo z.
- Pokud nakreslíte všechny své vektory na velikost, správným měřením všech úhlů můžete určit velikost výsledného vektoru měřením délky. Můžete také změřit úhel mezi výsledným a jakýmkoli vektorem vodorovně nebo svisle a určit jeho směr.
- Pokud nenačrtnete všechny své vektory na velikost, budete možná muset vypočítat velikost výslednice pomocí goniometrie. Možná pomohou pravidla pro sinus a kosinus. Pokud přidáte více než dva vektory, je užitečné přidat první vektor do druhého, pak přidat výslednici druhého do třetího atd. Další informace najdete v následujících částech.
Krok 6. Nakreslete výsledný vektor pomocí jeho velikosti a směru
Vektor je definován jeho délkou a směrem. Jak je uvedeno výše, za předpokladu, že jste přesně nakreslili svůj vektor, je velikost vašeho nového vektoru jeho délka a jeho směr je úhel vzhledem ke svislému nebo vodorovnému směru. Pomocí jednotkových vektorů, které přidáte nebo odečtete, určete jednotky pro velikost výsledného vektoru.
Pokud například přidané vektory představují rychlost v ms-1, pak lze výsledný vektor definovat jako "rychlost x ms-1 proti y Ó do vodorovného směru.
Metoda 3 ze 3: Sčítání a odčítání vektorů zadáním vektorových dimenzionálních komponent
Krok 1. Pomocí trigonometrie určete složky vektoru
Chcete -li najít součásti vektoru, obvykle potřebujete znát jeho velikost a směr vzhledem k horizontálnímu nebo vertikálnímu směru a porozumět trigonometrii. Za předpokladu 2-dimenzionálního vektoru si nejprve představte svůj vektor jako přeponu pravoúhlého trojúhelníku, jehož dvě strany jsou rovnoběžné se směry x a y. Tyto dvě strany lze považovat za součásti vektoru typu hlava-o-konec, které tvoří váš vektor.
- Délky obou stran se rovnají složkám x a y vašeho vektoru a lze je vypočítat pomocí trigonometrie. Pokud x je vektorová velikost, strana sousedící s vektorovým úhlem (vzhledem k horizontálnímu, vertikálnímu a jinému směru) je xcos (θ), zatímco opačná strana je xsin (θ).
- Je také velmi důležité poznamenat si směr vašich komponent. Pokud komponenta ukazuje na negativní souřadnici, dostane negativní znaménko. Například v 2-dimenzionální rovině, pokud součást směřuje doleva nebo dolů, je záporná.
- Řekněme například, že máme vektor o velikosti 3 a směru 135Ó vzhledem k horizontále. Pomocí těchto informací můžeme určit, že složka x je 3cos (135) = - 2, 12 a složka y je 3sin (135) = 2, 12
Krok 2. Přidejte nebo odečtěte dva nebo více souvisejících vektorů
Jakmile najdete součásti všech svých vektorů, sečtěte je a najděte složky výsledného vektoru. Nejprve sečtěte všechny velikosti horizontálních komponent (které jsou rovnoběžné se směrem x). Samostatně sečtěte všechny velikosti svislých složek (které jsou rovnoběžné se směrem y). Pokud je složka záporná (-), její velikost se odečte, nepřidá. Odpověď, kterou dostanete, je součástí vašeho výsledného vektoru.
Například vektor z předchozího kroku, je přidán do vektoru. V tomto případě se výsledný vektor stane nebo
Krok 3. Vypočítejte velikost výsledného vektoru pomocí Pythagorovy věty
Pythagorova věta c2= a2+b2, slouží k nalezení délky strany pravoúhlého trojúhelníku. Protože trojúhelník tvořený naším výsledným vektorem a jeho složkami je pravoúhlý, můžeme jej použít k nalezení délky a velikosti vektoru. S c jako velikost výsledného vektoru, který hledáte, předpokládejme, že a je velikost složky x a b je velikost složky y. Řešení pomocí algebry.
-
Chcete -li zjistit velikost vektoru, jehož součásti jsme hledali v předchozím kroku, použijte Pythagorovu větu. Vyřešte následovně:
- C2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- C2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Krok 4. Vypočítejte výsledný směr pomocí funkce Tečna
Nakonec najděte výsledný vektor směru. Použijte vzorec = opálení-1(b/a), kde je velikost úhlu vytvořeného v x nebo horizontálním směru, b je velikost složky y a a je velikost složky x.
-
Chcete -li zjistit směr našeho vektoru, použijte = tan-1(b/a).
- = opálení-1(-6, 88/3, 66)
- = opálení-1(-1, 88)
- = -61, 99Ó
Krok 5. Nakreslete výsledný vektor podle jeho velikosti a směru
Jak bylo napsáno výše, vektory jsou definovány jejich velikostí a směrem. Ujistěte se, že používáte odpovídající jednotky pro vaši velikost vektoru.
Pokud například náš vektorový příklad představuje sílu (v Newtonech), pak ji můžeme napsat "síla 7,79 N o -61,99 Ó do vodorovné “.
Tipy
- Vektor se liší od velkého.
- Vektory se stejným směrem lze sčítat nebo odčítat přidáním nebo odečtením jejich velikostí. jestli ty shrnout dva vektory, které jsou opačné, jejich velikosti jsou odečteny, nepřičteny.
- Vektory reprezentované ve tvaru x i + y j + z k lze přičíst nebo odečíst přidáním nebo odečtením koeficientů tří jednotkových vektorů. Odpověď je také ve tvaru i, j a k.
- Velikost trojrozměrného vektoru můžete zjistit pomocí vzorce a2= b2+c2+d2 kde a je velikost vektoru a b, c a d jsou složky každého směru.
- Vektory sloupců lze sčítat a odčítat přidáním nebo odečtením hodnot každého řádku.
