Jak zjednodušit matematické rovnice: 13 kroků

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-15 08:11

Studenti matematiky jsou často požádáni, aby své odpovědi zapsali v jejich nejjednodušší formě - jinými slovy, aby odpovědi napsali tak elegantně, jak to jen bude možné. Přestože jsou rovnice dlouhé, tuhé a krátké, stejně jako elegantní, technicky totéž, často není matematický problém považován za úplný, pokud není konečná odpověď redukována na nejjednodušší formu. Také odpověď ve své nejjednodušší formě je téměř vždy nejjednodušší rovnice, se kterou lze pracovat. Z tohoto důvodu je pro matematiky důležitá dovednost zjednodušení rovnic.

Krok

Metoda 1 ze 2: Použití sekvence operací

Krok 1. Znát pořadí operací

Při zjednodušování matematických výrazů nemůžete pracovat jen zleva doprava, násobit, sčítat, odčítat atd. V pořadí zleva doprava. Některé matematické operace musí mít přednost před ostatními a musí být provedeny jako první. Ve skutečnosti může použití nesprávného pořadí operací dát špatnou odpověď. Pořadí operací je: část v závorkách, exponent, násobení, dělení, sčítání a nakonec odčítání. Zkratka, kterou si můžete zapamatovat, je Protože matka není dobrá, zlá a chudá.

Všimněte si toho, že zatímco základní znalosti o pořadí operací mohou zjednodušit nejzákladnější rovnice, pro zjednodušení mnoha variabilních rovnic, včetně téměř všech polynomů, jsou zapotřebí speciální techniky. Další informace najdete v následující druhé metodě

Krok 2. Začněte vyplněním všech částí v závorkách

V matematice závorky označují, že vnitřní část musí být vypočítána odděleně od výrazu, který je mimo závorky. Bez ohledu na to, jaké operace jsou v závorkách, při pokusu o zjednodušení rovnice nejprve vyplňte část v závorkách. Například v závorkách musíte vynásobit před sčítáním, odčítáním atd.

• Zkusme například zjednodušit rovnici 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). V této rovnici musíme nejprve vyřešit část uvnitř závorek, konkrétně 5 + 2 a 3 + 4/2. 5 + 2 =

  Krok 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Krok 5

  Část v druhé závorce je zjednodušena na 5, protože podle pořadí operací dělíme v závorkách nejprve 4/2. Pokud pracujeme jen zleva doprava, přidáme nejprve 3 a 4, poté vydělíme 2 a dáme špatnou odpověď 7/2

• Poznámka - pokud je v závorkách více závorek, vyplňte sekci v nejniternější závorce, pak druhou nejvnitřnější atd.

Krok 3. Vyřešte exponent

Po dokončení hranatých závorek dále vyřešte exponent vaší rovnice. To je snadno zapamatovatelné, protože v exponentech jsou základní číslo a síla k moci vedle sebe. Najděte odpověď na každou část exponentu a poté odpověď vložte do rovnice, abyste nahradili exponentovou část.

Po dokončení části v závorkách se naše vzorová rovnice nyní stane 2x + 4 (7) + 3² - 5. Jediný exponenciál v našem příkladu je 3², což se rovná 9. Přidejte tento výsledek do své rovnice a nahraďte 3² což má za následek 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Krok 4. Vyřešte problém násobení ve své rovnici

Dále proveďte jakékoli násobení, které je ve vaší rovnici zapotřebí. Pamatujte, že násobení lze zapsat několika způsoby. Symbol × tečka nebo hvězdička je způsob, jak zobrazit násobení. Číslo vedle závorek nebo proměnná (například 4 (x)) však také představuje násobení.

• V našem problému jsou dvě části pro násobení: 2x (2x je 2 × x) a 4 (7). Neznáme hodnotu x, takže ji necháme na 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

  Krok 28.. Rovnici můžeme přepsat na 2x + 28 + 9 - 5.

Krok 5. Přejděte k rozdělení

Když hledáte ve svých rovnicích problémy s dělením, mějte na paměti, že stejně jako násobení lze dělení zapsat několika způsoby. Jedním z nich je symbol, ale mějte na paměti, že lomítka a pomlčky, například ve zlomcích (např. 3/4), také označují dělení.

Protože jsme dělení (4/2) již provedli, když jsme dokončili součásti v závorkách. Náš příklad již nemá problém s dělením, takže tento krok přeskočíme. To ukazuje důležitý bod - při zjednodušování výrazu nemusíte provádět všechny operace, pouze operace obsažené ve vašem problému

Krok 6. Dále přidejte vše, co je ve vaší rovnici

Můžete pracovat zleva doprava, ale jednodušší je nejprve sečíst snadno přidaná čísla. Například v problému 49 + 29 + 51 + 71 je jednodušší přidat 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 a 100 + 100 = 200, než 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 a 129 + 71 = 200.

Naše příkladová rovnice byla částečně zjednodušena na 2x + 28 + 9 - 5. Nyní musíme sečíst čísla, která můžeme sčítat - podívejme se na každý problém sčítání zleva doprava. Nemůžeme sčítat 2x a 28, protože neznáme hodnotu x, takže to prostě přeskočíme. 28 + 9 = 37, lze přepsat jako 2x + 37 - 5.

Krok 7. Posledním krokem sledu operací je odčítání

Pokračujte ve svém problému řešením zbývajících problémů s odčítáním. O odčítání můžete v tomto kroku uvažovat jako o přidávání záporných čísel nebo o použití stejných kroků jako u pravidelného problému sčítání - vaše volba neovlivní vaši odpověď.

• V našem problému, 2x + 37 - 5, existuje pouze jeden problém s odečtením. 37 - 5 =

  Krok 32.

Krok 8. Zkontrolujte svou rovnici

Po vyřešení pomocí pořadí operací by měla být vaše rovnice zjednodušena na nejjednodušší formu. Pokud však vaše rovnice obsahuje jednu nebo více proměnných, uvědomte si, že na vašich proměnných není třeba pracovat. Chcete -li proměnnou zjednodušit, musíte buď najít hodnotu proměnné, nebo použít speciální techniky ke zjednodušení výrazu (viz krok níže).

Naše konečná odpověď je 2x + 32. Tento konečný součet nemůžeme vyřešit, pokud neznáme hodnotu x, ale kdybychom znali její hodnotu, bylo by řešení této rovnice mnohem jednodušší než u naší dlouhé původní rovnice

Metoda 2 ze 2: Zjednodušení složitých rovnic

Krok 1. Sečtěte součásti, které mají stejnou proměnnou

Při řešení rovnic proměnných mějte na paměti, že části, které mají stejnou proměnnou a exponent (nebo stejnou proměnnou), lze sčítat a odčítat jako normální čísla. Tato část musí mít stejnou proměnnou a exponent. Lze přidat například 7x a 5x, ale 7x a 5x² nelze sčítat.

• Toto pravidlo platí také pro některé proměnné. Například 2xy² lze shrnout do -3xy², ale nelze je sčítat -3x²y nebo -3y².
• Viz rovnice x² + 3x + 6 - 8x. V této rovnici můžeme sčítat 3x a -8x, protože mají stejnou proměnnou a exponent. Z jednoduché rovnice se stane x² - 5x + 6.

Krok 2. Zjednodušte zlomková čísla dělením nebo škrtnutím faktorů

Zlomky, které mají v čitateli a jmenovateli pouze čísla (a žádné proměnné), lze zjednodušit několika způsoby. První, a možná nejjednodušší, je uvažovat o zlomku jako o dělicím problému a rozdělit jmenovatele na čitatele. Také jakýkoli multiplikační faktor, který se objeví v čitateli a jmenovateli, lze přeškrtnout, protože vydělením těchto dvou faktorů vznikne číslo 1.

Podívejte se například na zlomek 36/60. Pokud máme kalkulačku, můžeme ji rozdělit, abychom získali odpověď 0, 6. Pokud však nemáme kalkulačku, můžeme ji ještě zjednodušit přeškrtnutím stejných faktorů. Další způsob představy 36/60 je (6 × 6)/(6 × 10). Tento zlomek lze zapsat jako 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, takže náš zlomek je ve skutečnosti 1 × 6/10 = 6/10. Ještě však nejsme hotovi - 6 i 10 mají stejný faktor, což je 2. Opakováním výše uvedené metody se výsledek stane 3/5.

Krok 3. Na zlomku proměnné škrtněte všechny faktory proměnné

Variabilní rovnice ve zlomkové formě mají jedinečný způsob zjednodušení. Stejně jako běžné zlomky vám variabilní zlomky umožňují eliminovat faktory, které mají společný čitatel i jmenovatel. Ve variabilních zlomcích však těmito faktory mohou být čísla a rovnice skutečné proměnné.

• Řekněme rovnici (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Tento zlomek lze zapsat jako (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x se objeví v čitateli i ve jmenovateli. Vyškrtnutím těchto faktorů z rovnice se výsledek stane (x + 1)/(5 - x). Stejné jako ve výrazu (2x² + 4x + 6)/2, protože každá část je dělitelná 2, můžeme rovnici zapsat jako (2 (x² + 2x + 3))/2 a poté zjednodušit na x² + 2x + 3.
• Všimněte si, že nemůžete přeškrtnout všechny sekce - můžete přeškrtnout pouze multiplikační faktory, které se objevují v čitateli a jmenovateli. Například ve výrazu (x (x + 2))/x lze x vyškrtnout z čitatele i jmenovatele, takže se stane (x + 2)/1 = (x + 2). (X + 2)/x však nelze přeškrtnout na 2/1 = 2.

Krok 4. Vynásobte část v závorkách konstantou

Při vynásobení části, která má proměnnou v závorkách konstantou, může někdy vynásobení každé části v závorkách konstantou vést k jednodušší rovnici. To platí pro konstanty, které se skládají pouze z čísel a konstant, které mají proměnné.

• Například rovnice 3 (x² + 8) lze zjednodušit na 3x² + 24, zatímco 3x (x² + 8) lze zjednodušit na 3x³ + 24x.
• Všimněte si toho, že v některých případech, jako jsou proměnné zlomky, mohou být konstanty kolem závorek přeškrtnuty, takže nemusí být vynásobeny částí v závorkách. Ve zlomcích (3 (x² + 8))/3x, například faktor 3 se objeví v čitateli i ve jmenovateli, takže jej můžeme přeškrtnout a zjednodušit výraz na (x² + 8)/x. Tento výraz je jednodušší a snáze se s ním pracuje než (3x³ + 24x)/3x, což je výsledek, který získáme, pokud jej vynásobíme.

Krok 5. Zjednodušte faktoring

Faktoring je technika, kterou lze použít ke zjednodušení některých variabilních výrazů, včetně polynomů. Faktoring považujte za opak vynásobení částí v závorkách ve výše uvedeném kroku - někdy lze za výraz považovat dvě části, které se navzájem násobí, spíše než za jednotný výraz. To platí zejména v případě, že vám faktoringová rovnice umožňuje škrtnout jednu z jejích částí (jako ve zlomcích). V určitých případech (často s kvadratickými rovnicemi) vám factoring dokonce umožní najít řešení rovnice.

• Předpokládejme opět výraz x² - 5x + 6. Tento výraz lze rozložit na (x - 3) (x - 2). Pokud tedy x² - 5x + 6 je čitatel dané rovnice, kde jmenovatel má jeden z těchto faktorů, jako ve výrazu (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), možná bychom to chtěli napsat ve formě faktoru, abychom mohli faktor se znaménkem vyškrtnout. Jinými slovy, v (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) může být část (x - 2) přeškrtnuta na (x - 3)/2.

• Jak bylo uvedeno výše, dalším důvodem, proč byste chtěli faktorizovat své rovnice, je to, že vám factoring může poskytnout odpovědi na určité rovnice, zvláště pokud jsou psány jako rovné 0. Například rovnice x² - 5x + 6 = 0. Faktoring dává (x - 3) (x - 2) = 0. Protože jakékoli číslo vynásobené nulou se rovná nule, víme, že pokud se jakákoli část závorek rovná nule, celá rovnice nalevo od znaménko rovnosti je také nula. Aby

  Krok 3. da

  Krok 2. jsou dvě odpovědi na rovnici.