Racionální rovnice je zlomek s jednou nebo více proměnnými v čitateli nebo jmenovateli. Racionální rovnice je jakýkoli zlomek, který zahrnuje alespoň jednu racionální rovnici. Stejně jako běžné algebraické rovnice jsou racionální rovnice řešeny prováděním stejné operace na obou stranách rovnice, dokud nelze proměnné přenést na obě strany rovnice. Dvě speciální techniky, křížové násobení a hledání nejméně společného jmenovatele, jsou velmi užitečné způsoby, jak přesouvat proměnné a řešit racionální rovnice.
Krok
Metoda 1 ze 2: Křížové násobení
Krok 1. V případě potřeby upravte svou rovnici, abyste získali zlomek na jedné straně rovnice
Křížové násobení je rychlý a snadný způsob řešení racionálních rovnic. Tuto metodu lze bohužel použít pouze pro racionální rovnice, které obsahují alespoň jednu racionální rovnici nebo zlomek na každé straně rovnice. Pokud vaše rovnice tyto požadavky na součin produktů nesplňuje, budete možná muset použít algebraické operace k přesunutí dílů na správná místa.
-
Například rovnici (x + 3)/4-x/(-2) = 0 lze snadno vložit do křížové součinové soustavy přidáním x/(-2) na obě strany rovnice, takže se stane (x + 3)/4 = x/(-2).
Všimněte si, že desítková a celá čísla lze převést na zlomky zadáním jmenovatele 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, například lze přepsat jako (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, čímž splňuje podmínku křížového násobení
- Některé racionální rovnice nelze snadno redukovat na formu, která má na každé straně jeden zlomek nebo racionální rovnici. V takových případech použijte stejný přístup nejmenšího jmenovatele.
Krok 2. Křížové násobení
Křížové násobení znamená vynásobení jednoho z čitatelů zlomku jmenovatelem jiného zlomku a naopak. Vynásobte čitatele zlomku vlevo jmenovatelem zlomku vpravo. Opakujte s pravým jmenovatelem s levým jmenovatelem.
Křížové násobení funguje podle základních algebraických principů. Racionální rovnice a jiné zlomky lze přeměnit na ne zlomky jejich vynásobením jmenovatelem. Křížový součin je v podstatě rychlý způsob, jak vynásobit obě strany rovnice oběma jmenovateli. Nevěří? Zkuste to - po zjednodušení získáte stejný výsledek
Krok 3. Srovnejte oba produkty navzájem
Po křížovém násobení získáte dva výsledky násobení. Srovnejte je navzájem a zjednodušte, aby byla rovnice co nejjednodušší.
Pokud například vaše původní racionální rovnice byla (x+3)/4 = x/(-2), po křížovém násobení se vaše nová rovnice stane -2 (x+3) = 4x. Pokud chcete, můžete to také napsat jako -2x - 6 = 4x
Krok 4. Najděte hodnotu proměnné
Pomocí algebraických operací najděte hodnotu proměnné vaší rovnice. Pamatujte, že pokud se x objeví na obou stranách rovnice, musíte přičíst nebo odečíst x z obou stran rovnice, aby x zůstalo pouze na jedné straně rovnice.
V našem příkladu můžeme obě strany rovnice vydělit -2, takže x+3 = -2x. Odečtením x z obou stran dostaneme 3 = -3x. Nakonec dělením obou stran na -3 se výsledek stane -1 = x, což lze zapsat jako x = -1. Našli jsme hodnotu x, vyřešením naší racionální rovnice
Metoda 2 ze 2: Nalezení nejméně společného jmenovatele
Krok 1. Znáte přesný čas pro použití stejného nejmenšího jmenovatele
Stejného nejmenšího jmenovatele lze použít ke zjednodušení racionálních rovnic, díky čemuž je lze vyhledávat pro proměnné hodnoty. Nalezení nejmenšího společného jmenovatele je dobrý nápad, pokud vaši racionální rovnici nelze snadno zapsat jako jeden zlomek (a pouze jeden zlomek) na každou stranu rovnice. Pro řešení racionálních rovnic se třemi nebo více částmi je užitečný nejméně společný jmenovatel. K vyřešení racionální rovnice pouze se dvěma částmi je však rychlejší použít součin.
Krok 2. Zkontrolujte jmenovatele každé frakce
Určete nejmenší číslo, které může každý jmenovatel rozdělit, a vygenerujte celé číslo. Toto číslo je nejmenším společným jmenovatelem vaší rovnice.
- Někdy je jasně viditelný nejmenší společný jmenovatel - tedy nejmenší číslo, které má ve jmenovateli všechny faktory. Pokud je vaše rovnice například x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, není těžké vidět nejmenší číslo s faktorem 3, 2 a 6, což je číslo 6.
- Nejméně společný jmenovatel racionální rovnice však často není jasně viditelný. V takovém případě zkuste zkontrolovat násobky většího jmenovatele, dokud nenajdete číslo, které má faktor všech ostatních menších jmenovatelů. Často je nejméně společným jmenovatelem součin dvou jmenovatelů. Například v rovnici x/8 + 2/6 = (x-3)/9 je nejméně společný jmenovatel 8*9 = 72.
- Pokud má jeden nebo více jmenovatelů zlomku proměnné, je tento proces obtížnější, ale je možné jej provést. V takovém případě je nejméně společným jmenovatelem rovnice (s proměnnou), která je dělitelná všemi ostatními jmenovateli. Například v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) je nejmenším společným jmenovatelem 3x (x-1), protože jej může dělit jakýkoli jmenovatel-dělení (x-1) dává 3x, dělení 3x dává (x-1) a dělení x dává 3 (x-1).
Krok 3. Vynásobte každý zlomek v racionální rovnici 1
Vynásobení každé části 1 se zdá zbytečné. Ale tady je ten trik. 1 lze definovat jako jakékoli číslo, které je stejné v čitateli i ve jmenovateli, například -2/2 a 3/3, což je správný způsob zápisu 1. Tato metoda využívá alternativní definice. Vynásobte každý zlomek ve své racionální rovnici 1, zapište si číslo 1, které po vynásobení jmenovatelem dává nejmenšího společného jmenovatele.
- V našem základním příkladu vynásobíme x/3 číslem 2/2, abychom získali 2x/6, a vynásobením 1/2 krát 3/3 dostaneme 3/6. 2x + 1/6 již má stejného nejmenšího jmenovatele, což je 6, takže jej můžeme vynásobit 1/1 nebo ho nechat na pokoji.
- V našem případě s proměnnou ve jmenovateli zlomku je proces trochu komplikovanější. Protože náš nejmenší jmenovatel je 3x (x-1), vynásobíme každou racionální rovnici něčím, co vrátí 3x (x-1). Násobíme 5/(x-1) číslem (3x)/(3x), což dává 5 (3x)/(3x) (x-1), vynásobíme 1/x třemi (x-1)/3 (x- 1) což dává 3 (x-1)/3x (x-1) a vynásobením 2/(3x) (x-1)/(x-1) dává 2 (x-1)/3x (x- 1).
Krok 4. Zjednodušte a najděte hodnotu x
Nyní, protože každá část vaší racionální rovnice má stejného jmenovatele, můžete jmenovatele ze své rovnice odstranit a vyřešit pro čitatele. Vynásobením obou stran rovnice získáte hodnotu čitatele. Potom pomocí algebraických operací najděte hodnotu x (nebo jakoukoli proměnnou, kterou chcete vyřešit) na jedné straně rovnice.
- V našem základním příkladu po vynásobení všech částí alternativní formou 1 dostaneme 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Lze přidat dvě zlomky, pokud mají stejného jmenovatele, takže můžeme tuto rovnici zjednodušit na (2x+3)/6 = (3x+1)/6 beze změny hodnoty. Vynásobením obou stran 6 odstraníte jmenovatele, takže výsledek je 2x+3 = 3x+1. Odečtením 1 z obou stran získáte 2x+2 = 3x a odečtením 2x z obou stran získáte 2 = x, které lze zapsat jako x = 2.
- V našem případě s proměnnou ve jmenovateli se naše rovnice po vynásobení 1 stane 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Vynásobením všech částí stejným nejmenším jmenovatelem, což nám umožní jmenovatele vynechat, se stane 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). To platí i pro 5x = 3x -3 + 2x -2, což zjednodušuje na 15x = x -5. Odečtením x z obou stran vyjde 14x = -5, což se nakonec zjednoduší na x = -5/14.
Tipy
- Až proměnnou vyřešíte, zkontrolujte svou odpověď vložením hodnoty proměnné do původní rovnice. Pokud je hodnota proměnné správná, můžete původní rovnici zjednodušit na jednoduché tvrzení, které se vždy rovná 1 = 1.
- Všimněte si, že jakýkoli polynom můžete napsat jako racionální rovnici; dát to nad jmenovatel 1. Takže x+3 a (x+3)/1 mají stejnou hodnotu, ale druhou rovnici lze klasifikovat jako racionální rovnici, protože je zapsána jako zlomek.
