Dvě zlomky jsou ekvivalentní, pokud mají stejnou hodnotu. Vědět, jak převést zlomky na jejich ekvivalentní formy, je nesmírně důležitá matematická dovednost, nutná pro všechny formy matematiky od základní algebry po pokročilý počet. Tento článek poskytne několik způsobů výpočtu ekvivalentních zlomků od základního násobení a dělení po složitější způsoby řešení ekvivalentních zlomkových rovnic.
Krok
Metoda 1 z 5: Uspořádání ekvivalentních zlomků
Krok 1. Vynásobte čitatele a jmenovatele stejným číslem
Dvě různé, ale ekvivalentní zlomky mají podle definice čitatele a jmenovatele, které jsou navzájem násobky. Jinými slovy, vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem vzniknou ekvivalentní zlomky. Ačkoli čísla v novém zlomku budou různá, zlomky budou mít stejnou hodnotu.
- Pokud například vezmeme zlomek 4/8 a vynásobíme čitatele a jmenovatele číslem 2, dostaneme (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Tyto dvě frakce jsou ekvivalentní.
- (4 × 2)/(8 × 2) je ve skutečnosti stejný jako 4/8 × 2/2. Pamatujte, že při násobení dvou zlomků násobíme rovně, tedy čitatel čitatelem a jmenovatel jmenovatelem.
- Všimněte si, že 2/2 se rovná 1, pokud provedete dělení. Je tedy snazší pochopit, proč jsou 4/8 a 8/16 ekvivalentní, protože vynásobení 4/8 × (2/2) = zůstává 4/8. Stejným způsobem je to stejné jako říkat 4/8 = 8/16.
- Jakýkoli daný zlomek má nekonečný počet ekvivalentních zlomků. Čitatele i jmenovatele můžete vynásobit libovolným celým číslem, bez ohledu na velikost nebo malé, abyste získali ekvivalentní zlomek.
Krok 2. Vydělte čitatele a jmenovatele stejným číslem
Stejně jako násobení lze dělení použít také k nalezení nového zlomku, který je ekvivalentní vašemu původnímu zlomku. Stačí vydělit čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem, abyste získali ekvivalentní zlomek. Tento proces má jednu nevýhodu - konečný zlomek musí mít celá čísla v čitateli i ve jmenovateli, aby byl pravdivý.
Podívejme se například na 4/8. Pokud místo násobení dělíme čitatele a jmenovatele 2, dostaneme (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 a 4 jsou celá čísla, takže tyto ekvivalentní zlomky jsou pravdivé
Metoda 2 z 5: Použití základního násobení k určení rovnosti
Krok 1. Najděte číslo, které je třeba vynásobit menším jmenovatelem, abyste získali většího jmenovatele
Mnoho problémů týkajících se zlomků zahrnuje určení, zda jsou dva zlomky ekvivalentní. Výpočtem tohoto čísla můžete začít porovnávat zlomkové členy a určit rovnost.
- Například znovu použijte zlomky 4/8 a 8/16. Menší jmenovatel je 8 a číslo musíme vynásobit 2, abychom získali většího jmenovatele, což je 16. Číslo je tedy v tomto případě 2.
- U obtížnějších čísel můžete většího jmenovatele vydělit menším. V tomto případě je 16 děleno 8, což stále dává 2.
- Číslo není vždy celé číslo. Pokud jsou například jmenovatelé 2 a 7, pak je číslo 3, 5.
Krok 2. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomku, který má menší člen, číslem z prvního kroku
Dvě různé, ale ekvivalentní zlomky mají podle definice čitatel a jmenovatel, které jsou navzájem násobky. Jinými slovy, vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem vznikne ekvivalentní zlomek. Ačkoli čísla v tomto novém zlomku budou různá, budou mít tyto zlomky stejnou hodnotu.
Pokud například použijeme zlomek 4/8 z prvního kroku a vynásobíme čitatele a jmenovatele číslem, které jsme definovali dříve, což je 2, dostaneme (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Tento výsledek dokazuje, že tyto dvě frakce jsou ekvivalentní.
Metoda 3 z 5: Použití základního dělení k určení rovnosti
Krok 1. Počítejte každý zlomek jako desetinné číslo
U jednoduchých zlomků bez proměnných můžete pro určení rovnosti reprezentovat každý zlomek jako desetinné číslo. Protože každý zlomek je ve skutečnosti problémem rozdělení, je to nejjednodušší způsob, jak určit rovnost.
- Použijte například zlomek, který jsme použili dříve, 4/8. Zlomek 4/8 je ekvivalentní rčení 4 děleno 8, což je 4/8 = 0,5. Můžete také vyřešit druhý příklad, který je 8/16 = 0,5. Bez ohledu na podmínky ve zlomku je zlomek ekvivalentní pokud jsou obě čísla stejná, jsou -li reprezentována v desítkové soustavě.
- Mějte na paměti, že desítkové výrazy mohou mít více číslic, než bude zřejmá rovnost. Jako základní příklad se 1/3 = 0,333 opakuje, zatímco 3/10 = 0,3. Při použití více než jedné číslice vidíme, že tyto dvě zlomky nejsou ekvivalentní.
Krok 2. Vydělením čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem získáte ekvivalentní zlomek
U složitějších zlomků vyžaduje metoda dělení další kroky. Zatímco při násobení můžete vydělit čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem, abyste získali ekvivalentní zlomek. Tento proces má jednu nevýhodu. Konečný zlomek musí mít celá čísla v čitateli i ve jmenovateli, aby byl pravdivý.
Podívejme se například na 4/8. Pokud místo násobení dělíme čitatele a jmenovatele 2, dostaneme (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 a 4 jsou celá čísla, takže tyto ekvivalentní zlomky jsou pravdivé.
Krok 3. Zjednodušte zlomky na jejich nejjednodušší termíny
Většina zlomků je obvykle napsána v jejich nejjednodušších termínech a zlomky můžete převést na jejich nejjednodušší formu vydělením největším společným faktorem (GCF). Tento krok se provádí ve stejné logice jako psaní ekvivalentních zlomků a převádí je na stejného jmenovatele, ale tato metoda se pokouší zjednodušit každý zlomek na jeho nejmenší možné termíny.
- Když je zlomek ve své nejjednodušší formě, mají čitatel a jmenovatel nejmenší možné hodnoty. Oba nelze dělit žádným celým číslem, abychom získali menší hodnotu. Chcete -li převést zlomek, který není ve své nejjednodušší formě, na jeho nejjednodušší ekvivalentní formu, dělíme čitatele a jmenovatele jejich největším společným faktorem.
-
Největší společný faktor (GCF) čitatele a jmenovatele je největší číslo, které je rozděluje a dává celočíselný výsledek. Takže v našem příkladu 4/8, protože
Krok 4. je největší číslo, které je dělitelné 4 a 8, vydělíme čitatele a jmenovatele našeho zlomku 4, abychom získali nejjednodušší výrazy. (4 4)/(8 4) = 1/2. Pro náš další příklad 8/16 je GCF 8, které také vrací hodnotu 1/2 jako nejjednodušší výraz zlomku.
Metoda 4 z 5: Použití křížových produktů k hledání proměnných
Krok 1. Uspořádejte dvě frakce tak, aby byly navzájem stejné
Křížové násobení používáme pro matematické úlohy, kde víme, že zlomky jsou ekvivalentní, ale jedno z čísel bylo nahrazeno proměnnou (obvykle x), kterou musíme vyřešit. V takových případech víme, že tyto zlomky jsou ekvivalentní, protože jsou to jediné výrazy na druhé straně znaménka rovnosti, ale často není cesta k nalezení proměnné zřejmá. Naštěstí s křížovým násobením je řešení těchto typů problémů snadné.
Krok 2. Vezměte dvě ekvivalentní zlomky a vynásobte je tvarem „X“
Jinými slovy, vynásobíte čitatele jednoho zlomku jmenovatelem jiného zlomku a naopak, poté uspořádáte dvě odpovědi tak, aby se navzájem shodovaly a řešily.
Vezměte si naše dva příklady, 4/8 a 8/16. Žádný nemá proměnnou, ale můžeme tento koncept dokázat, protože již víme, že jsou ekvivalentní. Křížovým násobením dostaneme 4/16 = 8 x 8 nebo 64 = 64, což je pravda. Pokud tato dvě čísla nejsou stejná, pak zlomky nejsou ekvivalentní
Krok 3. Přidejte proměnné
Protože křížové násobení je nejjednodušší způsob, jak určit ekvivalentní zlomky, když musíte najít proměnné, pojďme přidat proměnné.
-
Použijme například rovnici 2/x = 10/13. Abychom se křížili, vynásobíme 2 x 13 a 10 x, pak nastavíme naše odpovědi na sebe navzájem:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Odtud je nalezení odpovědi na naši proměnnou jednoduchým problémem algebry. x = 26/10 = 2, 6, přičemž počáteční ekvivalentní zlomek 2/2, 6 = 10/13.
Krok 4. Použijte křížové násobení pro zlomky více proměnných nebo výrazy proměnných
Jedna z nejlepších věcí na křížovém násobení je, že ve skutečnosti funguje stejným způsobem, ať už pracujete se dvěma jednoduchými zlomky (jak je uvedeno výše) nebo se složitějšími zlomky. Pokud například obě zlomky mají proměnné, stačí tyto proměnné v procesu řešení odstranit. Podobně, pokud má čitatel nebo jmenovatel vašeho zlomku proměnný výraz (jako x + 1), jednoduše jej „rozmnožte“pomocí distribuční vlastnosti a vyřešte jako obvykle.
-
Použijme například rovnici ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). V tomto případě, jak je uvedeno výše, to vyřešíme křížovým produktem:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, pak můžeme zlomek zjednodušit odečtením 2x z obou stran
- 2 = 2x + 12, pak proměnnou izolujeme odečtením 12 z obou stran
- -10 = 2x a vydělíme 2, abychom našli x
- - 5 = x
Metoda 5 z 5: Použití kvadratických vzorců k hledání proměnných
Krok 1. Překročte dvě frakce
U problémů s rovností, které vyžadují kvadratický vzorec, stále začínáme pomocí křížového součinu. Každý křížový součin, který zahrnuje vynásobení podmínek proměnné podmínkami jiné proměnné, však pravděpodobně povede k výrazu, který nelze snadno vyřešit pomocí algebry. V takových případech budete možná muset použít techniky, jako je faktoring a/nebo kvadratické vzorce.
-
Podívejme se například na rovnici ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Nejprve přejdeme k násobení:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Krok 2. Napište rovnici jako kvadratickou rovnici
V této části chceme tuto rovnici napsat v kvadratické formě (ax2 + bx + c = 0), což provedeme nastavením rovnice na nulu. V tomto případě odečteme 12 z obou stran, abychom získali 2x2 - 14 = 0.
Některé hodnoty se mohou rovnat 0. I když 2x2 - 14 = 0 je nejjednodušší forma naší rovnice, skutečná kvadratická rovnice je 2x2 + 0x + (-14) = 0. Na začátku může být užitečné sepsat formu kvadratické rovnice, i když se některé hodnoty rovnají 0.
Krok 3. Vyřešte vložením čísel z vaší kvadratické rovnice do kvadratického vzorce
Kvadratický vzorec (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) nám pomůže najít naši hodnotu x v této sekci. Nebojte se délky vzorce. Prostě vezmete hodnoty ze své kvadratické rovnice v kroku dva a dáte je na správná místa, než je vyřešíte.
- x = (-b +/- (nar2 - 4ac))/2a. V naší rovnici 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0, a c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Krok 4. Zkontrolujte svoji odpověď znovu zadáním hodnoty x do své kvadratické rovnice
Připojením vypočtené hodnoty x zpět do vaší kvadratické rovnice z kroku dva můžete snadno určit, zda jste odpověděli správně. V tomto případě připojíte 2, 64 a -2, 64 do původní kvadratické rovnice.
Tipy
- Převod zlomku na jeho ekvivalent je ve skutečnosti formou vynásobení zlomku číslem 1. Při převodu 1/2 na 2/4 je vynásobení čitatele a jmenovatele 2 stejné jako vynásobení 1/2 krát 2/2, což se rovná 1.
-
Pokud je to žádoucí, převeďte smíšené číslo na společný zlomek, aby byl převod jednodušší. Samozřejmě ne všechny zlomky, na které narazíte, budou tak snadné jako převod našeho příkladu 4/8 výše. Například smíšená čísla (například 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 atd.) Mohou proces převodu trochu zkomplikovat. Pokud musíte převést smíšené číslo na společný zlomek, můžete to provést dvěma způsoby: převedením smíšeného čísla na společný zlomek a jeho převodem jako obvykle, nebo udržováním formy smíšených čísel a získáváním odpovědí ve formě smíšených čísel.
- Chcete -li převést na běžný zlomek, vynásobte celočíselnou složku smíšeného čísla jmenovatelem zlomkové složky a poté přidejte do čitatele. Například 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Pokud je to žádoucí, můžete jej podle potřeby změnit. Například 5/3 × 2/2 = 10/6, který zůstává roven 1 2/3.
- Nemusíme jej však převádět na běžný zlomek, jak je uvedeno výše. V opačném případě necháme celočíselnou komponentu samotnou, změníme pouze zlomkovou složku a celočíselnou složku přidáme beze změny. Například pro 3 4/16 vidíme pouze 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Takže přidáním našich celočíselných komponent zpět získáme nové smíšené číslo, 3 1/4.
Varování
- Násobení a dělení lze použít k získání ekvivalentních zlomků, protože násobení a dělení se zlomkovým tvarem čísla 1 (2/2, 3/3 atd.) Dává odpověď, která je podle definice ekvivalentní původnímu zlomku. Sčítání a odčítání nelze použít.
-
I když při násobení zlomků znásobíte čitatele a jmenovatele, při sčítání nebo odečítání zlomků nepřidáte ani neodečtete jmenovatele.
Například výše víme, že 4/8 4/4 = 1/2. Pokud sečteme do 4/4, dostaneme úplně jinou odpověď. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 nebo 3/2, nejsou rovny 4/8.
