Jak řešit problémy s odmocninou (s obrázky)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-15 08:11

I když se to někdy může zdát skličující, problém s odmocninou není ve skutečnosti tak obtížné vyřešit. Jednoduché problémy s odmocninou lze obvykle vyřešit stejně snadno jako základní problémy s násobením a dělením. U složitějších otázek to vyžaduje trochu úsilí navíc. Ale správným přístupem lze vyřešit jakýkoli obtížný problém. Prostřednictvím tohoto článku vám pomůžeme vyřešit problémy s odmocninou v několika jednoduchých krocích.

Krok

Část 1 ze 3: Porozumění čtvercům a hranatým kořenům

Krok 1. Čtverec je číslo vynásobené číslem samotným

Abychom porozuměli odmocnině, je dobré nejprve porozumět významu druhé odmocniny. Jednoduše řečeno, čtverec je číslo vynásobené číslem samotným. Například 3 na druhou je 3krát 3 = 9 a 9 na druhou je 9krát 9 = 81. Čtverec je reprezentován malým 2 v pravém horním rohu čísla na druhou - takto: 3², 9², 100², atd.

Zkuste porovnat některá další čísla, abyste tento koncept otestovali. Pamatujte, že kvadratura čísla je násobení čísla sama o sobě. Můžete dokonce umocnit záporná čísla. Výsledkem bude vždy kladné číslo. Například -8² = -8 × -8 = 64.

Krok 2. Druhá odmocnina je převrácená hodnota druhé odmocniny

Symbol odmocniny (√, také známý jako „radikální“symbol) je v podstatě opakem symbolu ². Když najdete radikál, zeptejte se sami sebe: jaké číslo, pokud je na druhou, by mělo za následek číslo uvnitř radikálu? Pokud se například podíváte na √ (9), najděte číslo, které při čtverci je devět. Odpověď je tedy „tři“, protože 3² = 9.

• Jako další příklad zkusme najít druhou odmocninu 25 (√ (25)). To znamená, že hledáme číslo, které když je umocněno na druhou, výsledek je 25. Protože 5² = 5 × 5 = 25, potom (25) =

  Krok 5..

• Odmocninu lze také považovat za „zrušení“čtverce. Pokud například chceme najít (64), odmocninu z 64, pak uvažujme 64 jako 8². Protože symbol odmocniny v podstatě „neguje“symbol odmocniny, proto (64) = (8²) =

  Krok 8..

Krok 3. Poznejte rozdíl mezi dokonalými a nedokonalými čtverci

Až dosud byly výsledky našich odmocninových výpočtů celá čísla. Otázky, se kterými se budete potýkat později, nebudou tak snadné, budou se vyskytovat otázky s odpověďmi na desetinná čísla s několika číslicemi za čárkou. Čísla, která jsou zaokrouhlena po druhé mocnině (tj. Ne za zlomková nebo desetinná čísla), se také označují jako „dokonalá políčka“. Všechny předchozí příklady (9, 25 a 64) jsou dokonalými čtverci, protože pokud jsou čtvercové, výsledkem je celé číslo (3, 5 a 8).

Na druhé straně čísla, která po zaokrouhlení na druhou nejsou zaokrouhlena, jsou „nedokonalé čtverce“. Po umocnění je výsledkem obvykle zlomkové nebo desetinné číslo. Někdy i čísla vypadají velmi komplikovaně, jako (13) = 3, 605551275464…

Krok 4. Zapamatujte si čtverec čísel 1-12

Jak již víte, umocnění perfektního čtvercového čísla je velmi snadné. Uložení do paměti čtverců čísel 1-12 může být velmi užitečné, protože tato čísla se v problému objeví hodně. Při práci na otázkách tedy ušetříte čas. Prvních 12 čtvercových čísel je::

• 1² = 1 × 1 =

  Krok 1.

• 2² = 2 × 2 =

  Krok 4.

• 3² = 3 × 3 =

  Krok 9.

• 4² = 4 × 4 =

  Krok 16.

• 5² = 5 × 5 =

  Krok 25.

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

Krok 5. Zjednodušte druhou odmocninu odstraněním dokonalých čtverců

Hledání druhé odmocniny nedokonalého čtvercového čísla může být složité, zvláště pokud nepoužíváte kalkulačku. Číslo, které se má umocnit na druhou, lze však zjednodušit, aby bylo jednodušší jej vypočítat. Chcete -li to provést, jednoduše rozdělte číslo uvnitř radikálu na několik faktorů, poté odeberte odmocninu z dokonalých čtverců a napište odpověď mimo radikál. Tuto metodu je docela snadné provést - pro lepší pochopení zde je další vysvětlení:

• Řekněme, že chceme vypočítat druhou odmocninu 900. Takže jednoduše rozdělte 900 na její faktory. „Faktory“jsou čísla, která lze společně vynásobit a vytvořit další číslo. Například číslo 6 lze získat vynásobením a 1 × 6 a 2 × 3, takže faktory 6 jsou 1, 2, 3 a 6.
• S touto zásadou na mysli rozdělíme 900 na její faktory. Pro začátek napíšeme 900 jako 9 × 100. Protože 9 je dokonalý čtverec, můžeme odmocninu ze 100 vzít samostatně. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Jinými slovy (900) = 3√(100).

• Můžeme to dále zjednodušit rozdělením 100 na jeho faktory, konkrétně 25 a 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Lze tedy vypočítat (900) = 3 (10) =

  Krok 30..

Krok 6. Použijte imaginární číslo pro druhou odmocninu záporného čísla

Přemýšlejte, jaké číslo, pokud je výsledek na druhou, je -16? Odpověď ne. Všechna čísla na druhou jsou výsledkem vždy kladná, protože je záporná (-), při vynásobení zápornou je výsledek kladná (+). Abychom tedy záporné číslo umocnili, musíme nahradit záporné číslo imaginárním číslem (obvykle ve formě písmen nebo symbolů). Například proměnná "i" se obecně používá pro druhou odmocninu -1. Imaginární číslo je vždy na druhé odmocnině záporného čísla.

Je třeba poznamenat, že ačkoli imaginární čísla nejsou nikdy reprezentována čísly, mohou být stále považována za čísla různými způsoby. Například odmocninu záporného čísla lze umocnit na druhou, aby byla odmocnina odstraněna. Například i² = - 1

Část 2 ze 3: Použijte algoritmus stylu dlouhé divize

Krok 1. Vyřešte odmocniny jako dlouhé problémy s dělením

Ačkoli je časově náročný, obtížné odmocniny lze vyřešit bez kalkulačky. K tomu použijeme metodu (nebo algoritmus) podobnou dělení dlouhého zásobníku.

• Začněte tím, že napíšete odmocninu jako při dlouhém dělení. Jako příklad problému najděte kořen 6, 45, což není celé číslo. Nejprve napíšeme radikální symbol (√), potom pod něj napíšeme číslo, ze kterého chceme vzít druhou mocninu. Poté nakreslete čáru přes čísla, stejně jako dělení dlouhého skládání. Nyní symbol „√“vypadá, jako by měl ocas s číslem 6,45 ve spodní části.
• Zapíšeme čísla nad problém, takže ponechte mezeru.

Krok 2. Seskupte číslice čísla do dvojic

Nejprve seskupte číslice čísla pod radikálem do dvojic, počínaje desetinnou čárkou. Mezi páry vytvořte nějaký druh značky (tečka, čárka, čára atd.) Pro snadné sledování.

V příkladu problému bude 6, 45 rozděleno na 6-, 45-00. Pamatujte, že vlevo jsou „zbývající“číslice - to není problém.

Krok 3. Najděte největší číslo, jehož čtvercová hodnota je menší nebo rovna první skupině

Začněte prvním číslem ve skupině vlevo. Vyberte největší číslo, jehož čtvercová hodnota je ve skupině menší nebo stejná. Pokud je například skupina 37, vyberte 6, protože 6² = 36 <37, ale 7² = 49> 37. Napište toto číslo nad první skupinu. Toto číslo je první číslicí vaší odpovědi.

• V příkladu problému je první skupina 6-, 45-00 je 6. Největší číslo, které je menší nebo rovné 6, když je čtvercová, je

  Krok 2. - 2² = 4. Napište číslo „2“nad 6 a ocas je radikál.

Krok 4. Vynásobte číslo, které jste právě zapsali, pak ho snižte a odečtěte

Vezměte první číslici své odpovědi (napsanou nad radikálem) a vynásobte ji. Napište odpověď pod první skupinu a odečtěte, abyste našli rozdíl. Přesuňte další skupinu napravo od rozdílu, který jste právě vypočítali. Nakonec napište poslední číslici vynásobení první číslice své odpovědi vlevo a napravo nechte prázdné místo.

V příkladu je zdvojnásobené číslo 2 (první číslice předchozí odpovědi). 2 × 2 = 4. Poté odečtěte 4 od 6 (od první skupiny). 6 - 4 výsledek je 2. Dále svrhněte další skupinu (45) a dostaneme 245. Nakonec napište číslo 4 znovu vlevo a napravo ponechte trochu místa, například takto: 4_

Krok 5. Vyplňte prázdné místo

Přidejte číslice napravo od čísla, které jste napsali nalevo. Vyberte číslici, která při vynásobení tímto novým číslem dává největší hodnotu, ale která je stále menší nebo rovna „odvozenému číslu“. Pokud je například „odvozené číslo“1700 a číslo nalevo je 40_, zadejte číslo „4“, protože 404 × 4 = 1616 <1700, zatímco 405 × 5 = 2025. Číslo nalezené v tento krok je druhou číslicí vaší odpovědi, proto ji napište nad radikální symbol.

• V příkladovém problému budeme hledat číslo vedle 4_ × _, jehož odpověď je největší číslo, ale je menší nebo rovna 245. Odpověď je

  Krok 5.. 45 × 5 = 225, zatímco 46 × 6 = 276.

Krok 6. K nalezení odpovědi nadále používejte čísla „prázdného místa“

Pokračujte v dělení dlouhým stohováním, dokud nebude rozdíl mezi odečtením odvozených čísel nula, nebo bude získáno poměrně přesné číslo. Až budete hotovi, čísla, která jste použili k vyplnění prázdných míst v každém kroku (plus úplně první číslo, které jste použili) tvoří každou číslici vaší odpovědi.

• V příkladovém problému odečteme 245 od 220 a dostaneme 20. Dále snížíme další skupinu číslic 00 a dostaneme 2000. Vynásobte číslo nad radikálním symbolem a dostaneme 25 × 2 = 50. Pro vyplnění v mezerách na 50_ × _ =/<2 000 dostaneme číslo

  Krok 3.. Nyní máme „253“nad radikálním symbolem - opakujte tento proces znovu a získejte 9 na další číslici.

Krok 7. Odstraňte desetinnou čárku z počátku

Chcete -li získat konečnou odpověď, vložte desetinnou čárku na správné místo. Je to snadné - jednoduše vložte desetinnou čárku do souladu s desetinnou čárkou pod symbol radikálu. Například číslo pod radikálem je 49, 8, takže mezi čísla nad 8 a 9 vložte desetinnou čárku.

Pokud je v příkladu problém pod radikálem 6, 45, pak bude desetinná čárka v řádku mezi číslicemi 2 a 5. To znamená, že konečná odpověď je 2, 539.

Část 3 ze 3: Rychle odhadněte nedokonalé čtverce

Krok 1. Najděte aproximaci nedokonalého čtverce

Jakmile si zapamatujete dokonalé čtverce, bude hledání nedokonalých čtverců mnohem snazší. Jde o to, najít dokonalý čtverec před a za číslem, které hledáte. Poté určete, které ze dvou dokonalých čtverců je nejbližší číslu, které hledáte.

Například chceme najít odmocninu ze 40. Dokonalé druhé číslo před a po 40 je 6² a 7², což je 36 a 49. Protože 40 je větší než 36 a menší než 49, odmocnina 40 musí být mezi 6 a 7. Číslo 40 je blíže 36 než 49, takže odmocnina 40 je blíže 6. Zde je několik kroků k nalezení přesné odpovědi.

Krok 2. Odhadněte odmocninu na jednu číslici za čárkou

Když jste určili dvě dokonalá čtvercová čísla před a za hledaným číslem, zbytek je proces nalezení čísla za čárkou, které je nejblíže odpovědi. Začněte odhadovaným jednociferným číslem za čárkou. Tento proces se bude stále opakovat, dokud nedostanete odpověď s požadovanou přesností.

V příkladu je rozumná aproximace druhé odmocniny 40 6, 4, protože odpověď je s největší pravděpodobností blíže 6 než 7.

Krok 3. Vynásobte své odhadované číslo samotným číslem

Jinými slovy, zadejte své přibližné číslo. Pokud budete mít štěstí, výsledkem bude číslo v problému. Pokud ne, pokračujte v sčítání nebo odčítání čísel za čárkou, dokud nenajdete čtverec nejblíže číslu v problému.

• Vynásobením 6, 4 6, 4 získáte 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, což je mírně nad 40.
• Protože byl počáteční experiment nadbytečný, odečtěte svou aproximaci o jedno desetinné místo, což je 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Tento výsledek je mírně pod číslem v problému. To znamená, že druhá odmocnina 40 je mezi 6, 3 a 6, 4. Potom, protože 39,69 je blíže 40, odmocnina 40 je také blíže 6, 3.

Krok 4. Předpovídejte prognózy podle potřeby

Pokud si myslíte, že je dostatečně přesná, použijte svou odpověď. Ale pokud ne, pokračujte v přibližném vzoru výše, dokud nenajdete odpověď se třemi nebo čtyřmi číslicemi za čárkou - každopádně dokud nedosáhnete požadované úrovně přesnosti.

V příkladu zkusme vybrat 6, 33 jako přibližné dvě číslice za čárkou. Čtverec 6, 33 a výsledek je 6, 33 × 6, 33 = 40, 0689. Protože je výsledek nad číslem v problému, snažíme se druhé číslo za čárkou zmenšit na 6, 32. 6, 32 × 6, 32 = 39, 9424. Tento výsledek je mírně pod číslem v problému. Druhá odmocnina ze 40 je tedy mezi 6, 33 a 6, 32. Pokud chcete přesnější odpověď, pokračujte prosím třemi nebo čtyřmi nebo dokonce pěti číslicemi za čárkou.

Tipy

Pro nejrychlejší řešení použijte kalkulačku. Moderní kalkulačky nyní dokážou rychle najít odmocninu. Obvykle stačí zadat hledané číslo a poté stisknout tlačítko se symbolem radikálu. Chcete -li například najít odmocninu z 841, jednoduše stiskněte 8, 4, 1, (√) a odpověď se zobrazí 39.