Vzdálenost, často daná proměnnou „s“, je měřítkem prostoru, který je přímkou mezi dvěma body. Vzdálenost se může vztahovat na prostor mezi dvěma nepohyblivými body (například výška osoby je vzdálenost od spodní části chodidel k temeni hlavy) nebo se může vztahovat k prostoru mezi aktuální polohou objektu v pohybu a počáteční místo, kde se objekt začal pohybovat. Většinu problémů se vzdáleností lze vyřešit pomocí rovnice s = v × t, kde s je vzdálenost, v je průměrná rychlost, t je čas nebo pomocí s = ((x2 - X1)2 + (r2 - y1)2), kde (x1, y1) a (x2, y2) jsou souřadnice x a y dvou bodů.
Krok
Metoda 1 ze 2: Výpočet vzdálenosti s průměrnou rychlostí a časem
Krok 1. Najděte průměrné hodnoty rychlosti a času
Při pokusu o výpočet vzdálenosti, kterou pohybující se objekt urazil, existují pro tento výpočet dvě důležité informace: Rychlost (nebo rychlost) a čas že pohybující se předmět cestoval. S touto informací je možné vypočítat vzdálenost ujetou objektem pomocí vzorce s = v × t.
Abychom lépe porozuměli procesu používání vzorce vzdálenosti, pojďme vyřešit příklad problému v této části. Řekněme, že cestujeme po silnici rychlostí 120 mil za hodinu (asi 193 km za hodinu) a chceme vědět, jak daleko za půl hodiny urazíme. Použití 120 mil za hodinu jako hodnota průměrné rychlosti a 0,5 hodiny jako hodnotu času tento problém vyřešíme v dalším kroku.
Krok 2. Vynásobte průměrnou rychlost časem
Poté, co znáte průměrnou rychlost pohybujícího se objektu a čas, který objekt urazil, je výpočet ujeté vzdálenosti relativně snadný. Stačí znásobit dvě hodnoty a najít odpověď.
- Pamatujte však, že pokud je jednotka času použitá v hodnotě průměrné rychlosti odlišná od jednotky použité v hodnotě času, budete ji muset změnit, aby odpovídala. Pokud bychom například měli průměrnou hodnotu rychlosti naměřenou v km za hodinu a časovou hodnotu naměřenou v minutách, museli byste časovou hodnotu vydělit 60 a převést na hodiny.
- Dokončeme náš příklad problému. 120 mil/h × 0,5 hodiny = 60 mil. Všimněte si toho, že jednotky v časové hodnotě (hodiny) vynechávají jmenovatele průměrné rychlosti (hodiny) a ponechávají pouze jednotky vzdálenosti (míle).
Krok 3. Změnou rovnice vypočítáte další proměnnou
Jednoduchost základní rovnice vzdálenosti (s = v × t) usnadňuje použití rovnice k nalezení hodnoty proměnné jiné než vzdálenost. Stačí izolovat proměnnou, kterou chcete najít, podle základních pravidel algebry, poté zadejte hodnoty dalších dvou proměnných a najděte hodnotu třetí proměnné. Jinými slovy, pro výpočet průměrné rychlosti objektu použijte rovnici v = s/t a pro výpočet času, který objekt uplynul, použijte rovnici t = s/v.
- Řekněme například, že víme, že auto urazilo 60 mil za 50 minut, ale nemáme hodnotu průměrné rychlosti, jak se objekt pohybuje. V tomto případě můžeme izolovat proměnnou v v rovnici základní vzdálenosti, abychom dostali v = d/t, pak stačí rozdělit 60 mil/50 minut, abychom dostali odpověď 1,2 míle/minutu.
- Všimněte si, že v tomto příkladu má odpověď na rychlost neobvyklou jednotku (míle/minutu). Chcete -li získat odpověď v běžnějších mílích/hodinu, vynásobte 60 minut/hodinu, abyste získali výsledek 72 mil za hodinu.
Krok 4. Všimněte si, že proměnná „v“ve vzorci vzdálenosti odkazuje na průměrnou rychlost
Je důležité pochopit, že základní vzorec vzdálenosti nabízí zjednodušený pohled na pohyb objektu. Vzorec vzdálenosti předpokládá, že objekt v pohybu má konstantní rychlost - jinými slovy, předpokládá, že objekt v pohybu má jedinou neměnnou rychlost. U abstraktních matematických problémů, se kterými se můžete setkat v akademickém prostředí, je někdy stále možné modelovat pohyb objektu pomocí tohoto předpokladu. V reálném životě však tyto příklady často neodrážejí přesně pohyb pohybujících se předmětů, které ve skutečnosti mohou v průběhu času zrychlovat, zpomalovat, zastavovat a couvat.
- Například ve výše uvedeném příkladu jsme došli k závěru, že abychom ujeli 60 mil za 50 minut, museli bychom cestovat rychlostí 72 mil za hodinu. To však platí pouze v případě, že celou cestu cestujete jednou rychlostí. Například cestováním rychlostí 80 mil/h na polovinu cesty a 64 mil/hod na zbývající polovinu stále urazíme 60 mil za 50 minut - 72 mil/hod = 60 mil/50 minut = ?????
- Řešení založená na počtu, která používají deriváty, jsou často lepší volbou než vzorce vzdálenosti pro definování rychlosti objektu v reálných situacích, protože změny rychlosti jsou možné.
Metoda 2 ze 2: Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body
Krok 1. Najděte dvě prostorové souřadnice dvou bodů
Co když místo výpočtu vzdálenosti, kterou pohybující se objekt urazil, potřebujete vypočítat vzdálenost mezi dvěma nepohyblivými objekty? V takovém případě výše popsaný vzorec vzdálenosti založený na rychlosti nebude fungovat. Naštěstí lze pro jednoduchý výpočet vzdálenosti přímky mezi dvěma body použít různé vzorce vzdálenosti. K použití tohoto vzorce však budete potřebovat znát souřadnice dvou bodů. Pokud zpracováváte jednorozměrné vzdálenosti (jako na číselné ose), budou souřadnice sestávat ze dvou čísel, x1 a x2. Pokud zpracováváte vzdálenosti ve dvou rozměrech, budete potřebovat dvě hodnoty (x, y), (x1, y1) a (x2, y2). Nakonec pro tři dimenze budete potřebovat hodnotu (x1, y1, z1) a (x2, y2, z2).
Krok 2. Vypočítejte jednorozměrnou vzdálenost odečtením hodnot souřadnic dvou bodů
Vypočítat jednorozměrnou vzdálenost mezi dvěma body, když již znáte hodnotu každého bodu, je snadné. Stačí použít vzorec s = | x2 - X1|. V tomto vzorci odečtete x1 od x2, pak vezměte absolutní hodnotu své odpovědi a najděte vzdálenost mezi x1 a x2. Obvykle budete chtít použít vzorec jednorozměrné vzdálenosti, když jsou dva body na přímce nebo číselné ose.
- Tento vzorec používá absolutní hodnoty (symbol " | |Absolutní hodnota znamená, že hodnota uvnitř symbolu se stane kladnou, pokud je záporná.
-
Řekněme například, že zastavíme na okraji silnice na dokonale rovné dálnici. Pokud je město 5 mil před námi a další město 1 míli za námi, jak daleko jsou tato dvě města? Pokud nastavíme město 1 jako x1 = 5 a město 2 jako x1 = -1, můžeme vypočítat s, vzdálenost mezi těmito dvěma městy, následujícím způsobem:
- s = | x2 - X1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 mil.
Krok 3. Vypočítejte dvojrozměrnou vzdálenost pomocí Pythagorovy věty
Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body v dvourozměrném prostoru je složitější než v jednorozměrném, ale ne obtížný. Stačí použít vzorec s = ((x2 - X1)2 + (r2 - y1)2). V tomto vzorci odečtěte dvě souřadnice x, vypočítejte druhou odmocninu, odečtěte dvě souřadnice y, vypočítejte druhou odmocninu, poté sečtěte dva výsledky dohromady a vypočtěte druhou odmocninu, abyste našli vzdálenost mezi dvěma body. Tento vzorec platí pro dvourozměrnou rovinu - například na pravidelném grafu x/y.
- Dvourozměrný vzorec vzdálenosti využívá Pythagorovu větu, která uvádí, že délka přepony trojúhelníku vpravo se rovná druhé odmocnině čtverce na ostatních dvou stranách.
- Řekněme například, že máme dva body v rovině x -y: (3, -10) a (11, 7), které představují střed kruhu a bod na kruhu. Abychom našli vzdálenost přímky mezi dvěma body, můžeme ji vypočítat následujícím způsobem:
- s = ((x2 - X1)2 + (r2 - y1)2)
- s = ((11-3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Krok 4. Vypočítejte trojrozměrnou vzdálenost změnou vzorce dvourozměrné vzdálenosti
Ve třech rozměrech mají body kromě souřadnic x a y také souřadnice z. Pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body v trojrozměrném prostoru použijte s = ((x2 - X1)2 + (r2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Toto je upravená forma vzorce dvourozměrné vzdálenosti popsaného výše, který obsahuje souřadnici z. Odečtením dvou souřadnic z, výpočtem druhé odmocniny a pokračováním ve zbytku vzorce zajistíte, že vaše konečná odpověď bude představovat trojrozměrnou vzdálenost mezi dvěma body.
- Řekněme například, že jsme astronauti vznášející se v prostoru mezi dvěma asteroidy. Jeden asteroid je asi 8 km před námi, 2 km vpravo a 5 km pod námi, zatímco druhý je asi 3 km za, 3 km vlevo a 4 km nad námi. Pokud znázorníme polohy obou asteroidů pomocí souřadnic (8, 2, -5) a (-3, -3, 4), můžeme vzdálenost mezi nimi vypočítat následujícím způsobem:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
