3 způsoby řešení logaritmů

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-15 08:11

Logaritmy se mohou zdát obtížně řešitelné, ale řešení logaritmických problémů je ve skutečnosti mnohem jednodušší, než byste si mohli myslet, protože logaritmy jsou jen dalším způsobem psaní exponenciálních rovnic. Jakmile přepíšete logaritmus do známější podoby, měli byste být schopni to vyřešit jako jakoukoli jinou obyčejnou exponenciální rovnici.

Krok

Než začnete: Naučte se vyjadřovat logaritmické rovnice exponenciálně

Krok 1. Pochopte definici logaritmu

Před řešením logaritmických rovnic musíte pochopit, že logaritmy jsou v podstatě dalším způsobem psaní exponenciálních rovnic. Přesná definice je následující:

• y = log_b (X)

  Pokud a pouze pokud: b^y = x

• Pamatujte, že b je základem logaritmu. Tato hodnota musí splňovat následující podmínky:

  • b> 0
  • b se nerovná 1
• V rovnici je y exponent a x je výsledek výpočtu exponenciály hledané v logaritmu.

Krok 2. Zvažte logaritmickou rovnici

Při pohledu na rovnici problému hledejte základnu (b), exponent (y) a exponenciál (x).

• Příklad:

  5 = log₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Krok 3. Přesuňte exponenciál na jednu stranu rovnice

Přesuňte hodnotu svého umocnění, x, na jednu stranu znaménka rovná se.

• Například:

  1024 = ?

Krok 4. Zadejte hodnotu exponentu do jeho základny

Vaše základní hodnota b musí být vynásobena stejným počtem hodnot reprezentovaných exponentem y.

• Příklad:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Tuto rovnici lze také zapsat jako: 4⁵

Krok 5. Přepište svou konečnou odpověď

Nyní byste měli být schopni přepsat logaritmickou rovnici jako exponenciální rovnici. Znovu zkontrolujte svoji odpověď a ujistěte se, že obě strany rovnice mají stejnou hodnotu.

• Příklad:

  4⁵ = 1024

Metoda 1 ze 3: Nalezení hodnoty X

Krok 1. Rozdělte logaritmickou rovnici

Proveďte zpětný výpočet a přesuňte část rovnice, která není logaritmickou rovnicí, na druhou stranu.

• Příklad:

  log₃(x + 5) + 6 = 10

  • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • log₃(x + 5) = 4

Krok 2. Přepište tuto rovnici v exponenciální formě

Použijte to, co již víte o vztahu mezi logaritmickými rovnicemi a exponenciálními rovnicemi, a přepište je v exponenciální formě, která je jednodušší a snáze řešitelná.

• Příklad:

  log₃(x + 5) = 4

  • Porovnejte tuto rovnici s definicí [ y = log_b (X)], pak můžete dojít k závěru, že: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Přepište rovnici jako: b^y = x
  • 3⁴ = x + 5

Krok 3. Najděte hodnotu x

Jakmile bude tento problém zjednodušen na základní exponenciální rovnici, měli byste být schopni jej vyřešit stejně jako jakoukoli jinou exponenciální rovnici.

• Příklad:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Krok 4. Zapište si konečnou odpověď

Konečná odpověď, kterou získáte, když zjistíte hodnotu x, je odpovědí na váš původní problém s logaritmem.

• Příklad:

  x = 76

Metoda 2 ze 3: Zjištění hodnoty X pomocí pravidla logaritmického sčítání

Krok 1. Pochopte pravidla pro přidávání logaritmů

První vlastnost logaritmů známá jako „pravidlo logaritmického sčítání“uvádí, že logaritmus produktu se rovná součtu logaritmů těchto dvou hodnot. Napište toto pravidlo do rovnice:

• log_b(m * n) = log_b(m) + log_b(n)

• Pamatujte, že musí platit následující:

  • m> 0
  • n> 0

Krok 2. Rozdělte logaritmus na jednu stranu rovnice

Pomocí reverzních výpočtů přesuňte části rovnice tak, aby celá logaritmická rovnice ležela na jedné straně, zatímco ostatní složky jsou na druhé straně.

• Příklad:

  log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)

  • log₄(x + 6) + protokol₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
  • log₄(x + 6) + protokol₄(x) = 2

Krok 3. Použijte pravidlo logaritmického sčítání

Pokud existují dva logaritmy, které se sčítají v rovnici, můžete je pomocí pravidla logaritmu dát dohromady.

• Příklad:

  log₄(x + 6) + protokol₄(x) = 2

  • log₄[(x + 6) * x] = 2
  • log₄(X² + 6x) = 2

Krok 4. Přepište tuto rovnici v exponenciální formě

Pamatujte, že logaritmy jsou jen dalším způsobem psaní exponenciálních rovnic. Pomocí logaritmické definice přepište rovnici do formy, kterou lze vyřešit.

• Příklad:

  log₄(X² + 6x) = 2

  • Porovnejte tuto rovnici s definicí [ y = log_b (X)], můžete dojít k závěru, že: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Přepište tuto rovnici tak, aby: b^y = x
  • 4² = x² + 6x

Krok 5. Najděte hodnotu x

Jakmile se z této rovnice stane pravidelná exponenciální rovnice, použijte to, co víte o exponenciálních rovnicích, k nalezení hodnoty x jako obvykle.

• Příklad:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Krok 6. Zapište si své odpovědi

V tomto okamžiku byste měli mít odpověď na rovnici. Svoji odpověď napište na určené místo.

• Příklad:

  x = 2

• Všimněte si, že pro logaritmus nemůžete dát zápornou odpověď, takže se můžete odpovědi zbavit x - 8.

Metoda 3 ze 3: Nalezení hodnoty X pomocí pravidla logaritmického dělení

Krok 1. Pochopte pravidlo logaritmického dělení

Na základě druhé vlastnosti logaritmů, známé jako „pravidlo logaritmického dělení“, lze logaritmus divize přepsat odečtením logaritmu jmenovatele od čitatele. Napište tuto rovnici následujícím způsobem:

• log_b(m/n) = log_b(m) - log_b(n)

• Pamatujte, že musí platit následující:

  • m> 0
  • n> 0

Krok 2. Rozdělte logaritmickou rovnici na jednu stranu

Než vyřešíte logaritmické rovnice, musíte přenést všechny logaritmické rovnice na jednu stranu znaménka rovná se. Druhá polovina rovnice musí být přesunuta na druhou stranu. K vyřešení použijte reverzní výpočty.

• Příklad:

  log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
  • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

Krok 3. Použijte pravidlo logaritmického dělení

Pokud v rovnici existují dva logaritmy a jeden z nich musí být od druhého odečten, můžete a měli byste použít pravidlo rozdělení, abyste tyto dva logaritmy spojili.

• Příklad:

  log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

  log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Krok 4. Napište tuto rovnici v exponenciální formě

Poté, co zůstane pouze jedna logaritmická rovnice, použijte logaritmickou definici k zápisu v exponenciální formě, čímž se log odstraní.

• Příklad:

  log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Porovnejte tuto rovnici s definicí [ y = log_b (X)], můžete dojít k závěru, že: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Přepište rovnici jako: b^y = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Krok 5. Najděte hodnotu x

Jakmile je rovnice exponenciální, měli byste být schopni najít hodnotu x jako obvykle.

• Příklad:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24/8
  • x = 3

Krok 6. Zapište si konečnou odpověď

Prozkoumejte a znovu zkontrolujte kroky výpočtu. Jakmile jste si jisti, že odpověď je správná, napište ji.

• Příklad:

  x = 3