Jak se naučit algebru (s obrázky)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-16 19:16

Zvládnutí algebry je zásadní pro pokračování téměř v jakémkoli typu matematiky, ať už na základní nebo střední škole. Každá matematická úroveň má základ, takže každá matematická úroveň je velmi důležitá. I ty nejzákladnější algebraické dovednosti však mohou být pro začátečníky obtížné pochopit, když se s nimi poprvé setkají. Pokud máte potíže se základními tématy algebry, nebojte se - s trochou dalšího vysvětlení, několika snadnými příklady a několika tipy na zlepšení dovedností budete brzy řešit problémy s algebrou jako profesionál.

Krok

Část 1 z 5: Naučit se základní pravidla algebry

Krok 1. Zkontrolujte své základní matematické operace

Abyste se mohli začít učit algebru, musíte znát základní matematické dovednosti, jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení. Tato matematika na základní/základní škole je velmi důležitá, než začnete studovat algebru. Pokud tyto dovednosti neovládáte, bude obtížné dokončit složitější pojmy vyučované v algebře. Pokud pro tyto operace potřebujete osvěžení, zkuste náš článek o základních matematických dovednostech.

Abyste mohli dělat problémy s algebrou, nemusíte být dobří v provádění těchto základních operací v hlavě. Mnoho tříd algebry vám umožňuje použít kalkulačku, která vám ušetří čas při provádění těchto jednoduchých operací. Měli byste však alespoň vědět, jak tyto operace provádět bez kalkulačky, když kalkulačku používat nemůžete

Krok 2. Znát pořadí operací

Jednou z nejsložitějších věcí při řešení algebraických rovnic jako začátečníka je znát pořadí, ve kterém začínají. Naštěstí při řešení těchto problémů existuje určitý řád: nejprve proveďte jakoukoli matematickou operaci v závorkách, poté proveďte exponenty, pak násobte, dělejte, pak sčítejte a nakonec odečítejte. Užitečným prostředkem k zapamatování pořadí těchto operací jsou zkratky KPKBJK. Zde se dozvíte, jak použít pořadí operací. Abychom to shrnuli, pořadí operací je:

Kselhat
Pvýtah/Exponent
KAli
Bznovu
J.umlah
Kkrevety
Pořadí operací je v algebře důležité, protože provádění operací s problémem algebry ve špatném pořadí může někdy ovlivnit odpověď. Pokud například uděláme matematickou úlohu 8 + 2 × 5, pokud nejprve přidáme 2 a 8, dostaneme 10 × 5 = 50, ale pokud nejprve vynásobíme 2 a 5, dostaneme 8 + 10 =

Krok 18.. Pouze druhá odpověď je správná.

Krok 3. Naučte se používat záporná čísla

V algebře je používání záporných čísel velmi běžné. Před začátkem učení algebry je tedy dobré si přečíst, jak sčítat, odčítat, násobit a dělit záporná čísla. Zde je několik základních záporných čísel k zapamatování - další informace najdete v našich článcích o sčítání a odčítání záporných čísel a dělení a násobení záporných čísel.

Na číselné ose je záporná verze čísla ve stejné vzdálenosti od nuly jako kladné číslo od nuly, ale v opačném směru.
Přidáním dvou záporných čísel bude číslo ještě zápornější (jinými slovy, číslice bude větší, ale protože číslo je záporné, hodnota bude menší)
Dvě negativní znaménka se navzájem ruší - odečtení záporného čísla je stejné jako přičtení kladného čísla
Násobení nebo dělení dvou záporných čísel dává kladnou odpověď.
Vynásobením nebo vydělením kladného čísla a záporného čísla získáte zápornou odpověď.

Krok 4. Vědět, jak strukturovat dlouhé otázky

Zatímco jednoduché problémy s algebrou lze snadno vyřešit, složitější problémy mohou vyžadovat mnoho kroků. Abyste se vyhnuli chybám, udržujte svou práci organizovanou tak, že při každém kroku k vyřešení problému začnete novou linii. Pokud pracujete s oboustrannou rovnicí, zkuste napsat všechny znaménka rovnosti („=“) pod ostatní znaménka rovnosti. Pokud tak někde uděláte chybu, bude snazší ji najít a opravit.

Abychom například vyřešili rovnici 9/3 - 5 + 3 × 4, mohli bychom svůj problém strukturovat takto:

9/3 - 5 + 3 × 4

9/3 - 5 + 12

3 - 5 + 12

3 + 7

Krok 10.

Část 2 z 5: Pochopení proměnných

Krok 1. Vyhledejte symboly, které nejsou čísly

V algebře začnete vidět písmena a symboly ve vašich matematických problémech, nejen s čísly. Tato písmena a symboly se nazývají proměnné. Proměnné nejsou tak matoucí, jak se na první pohled může zdát - je to jen způsob, jak zapsat čísla s neznámými hodnotami. Níže je jen několik běžných příkladů proměnných v algebře:

Písmena jako x, y, z, a, b a c
Řecká písmena jako theta nebo
Všimněte si, že ne všechny symboly jsou neznámé proměnné. Například pi, nebo, se vždy rovná přibližně 3,1459.

Krok 2. Představte si proměnné jako „neznámá“čísla

Jak již bylo uvedeno výše, proměnné jsou v podstatě jen čísla s neznámými hodnotami. Obvykle je vaším cílem v problémech s algebrou zjistit hodnotu proměnné - považujte proměnnou za „tajemné číslo“, které se pokoušíte najít.

Například v rovnici 2x + 3 = 11 je x naše proměnná. To znamená, že existuje několik hodnot, které zaujímají místo x, aby byla levá strana rovnice rovna 11. Protože 2 × 4 + 3 = 11, v tomto případě x =

Krok 4..
Snadný způsob, jak začít rozumět proměnným, je nahradit je v problémech algebry otazníky. Například můžeme přepsat rovnici 2 + 3 + x = 9 na 2 + 3 +?

= 9. Díky tomu je pro nás snazší porozumět věcem, o které se pokoušíme - stačí najít hodnotu, kterou je třeba přidat k 2 + 3 = 5, abychom získali 9. Opět je samozřejmě odpověď

Krok 4..

Krok 3. Pokud se proměnná vyskytuje více než jednou, zjednodušte proměnnou

Co dělat, když se stejná proměnná objeví v rovnici více než jednou? I když se tato situace může zdát obtížně řešitelná, ve skutečnosti můžete s proměnnými zacházet jako s běžnými čísly - jinými slovy je můžete sčítat, odečítat atd., Pokud kombinujete pouze proměnné podobné. Jinými slovy, x + x = 2x, ale x + y není rovno 2xy.

Podívejme se například na rovnici 2x + 1x = 9. V tomto problému můžeme přidat 2x a 1x, abychom získali 3x = 9. Protože 3 x 3 = 9, víme, že x =

Krok 3..
Znovu si všimněte, že dohromady můžete přidávat pouze stejné proměnné. V rovnici 2x + 1y = 9 nemůžeme kombinovat 2x a 1y, protože se jedná o různé proměnné.
To platí také v případě, že jedna proměnná má jiný exponent než druhá proměnná. Například v rovnici 2x + 3x² = 10, nemůžeme kombinovat 2x a 3x² protože proměnná x má jiný exponent. Další informace najdete v tématu přidání exponentů.

Část 3 z 5: Naučit se řešit rovnice „negací“

Krok 1. Pokuste se izolovat proměnné v algebraických rovnicích

Řešení rovnic v algebře obvykle znamená zjištění hodnoty proměnné. Algebraické rovnice se obvykle skládají z čísel a/nebo proměnných na obou stranách takto: x + 2 = 9 × 4. Chcete -li zjistit hodnotu proměnné, musíte izolovat proměnnou na jedné straně znaménka rovná se. Cokoli zbude na druhé straně znaménka rovnosti, je vaše odpověď.

V příkladu (x + 2 = 9 × 4), abychom izolovali x na levé straně rovnice, musíme eliminovat „ + 2“. K tomu potřebujeme odečíst pouze 2 z této strany, přičemž nám zůstane x = 9 × 4. Aby však byly obě strany rovnice stejné, musíme odečíst také 2 z druhé strany. Zbývá nám x = 9 × 4 - 2. Podle pořadí operací nejprve vynásobíme, pak odečteme, přičemž odpovíme x = = 36 - 2 = 34.

Krok 2. Odstraňte sčítání odečtením (a naopak)

Jak jsme právě viděli výše, izolace x na jedné straně znaménka rovná se obvykle znamená odstranění čísel vedle ní. K tomu provedeme operaci „obrácení“na obou stranách rovnice. Například v rovnici x + 3 = 0, protože po našem x vidíme „ + 3“, dáme na obě strany „-3“. „+3“a „-3“, přičemž x zůstane samotné a „-3“na druhé straně znaménka rovná se, takto: x = -3.

Obecně platí, že sčítání a odčítání jsou jako „obrácení“- spočítejte jednu operaci, abyste zahodili druhou. Viz. níže:

Pro sčítání odečtěte. Příklad: x + 9 = 3 → x = 3 - 9

Pro odečtení sečtěte. Příklad: x - 4 = 20 → x = 20 + 4

Krok 3. Odstraňte násobení dělením (a naopak)

Násobení a dělení je o něco obtížnější než sčítání a odčítání, ale tyto výpočty mají stejný „obrácený“vztah. Pokud na jedné straně uvidíte „× 3“, negujete to tak, že obě strany vydělíte 3 atd.

Při násobení a dělení musíte provést obrácenou operaci pro všechna čísla, která jsou na druhé straně znaménka rovná se, i když tato strana obsahuje více než jedno číslo. Viz. níže:

Pro znásobení rozdělte. Příklad: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2) /6

Pro rozdělení vynásobte. Příklad: x/5 = 25 → x = 25 × 5

Krok 4. Odstraňte exponent nalezením kořene (a naopak)

Exponenty jsou poměrně pokročilým tématem před algebry - pokud nevíte, jak na to, podívejte se do našeho článku o základních exponenciálech, kde najdete další informace. „Reverz“exponentu je kořen, který má stejné číslo jako exponent. Například převrácená hodnota exponentu ² je druhá odmocnina (√), převrácená hodnota exponentu ³ je kořen krychle (³), a tak dále.

To může být trochu matoucí, ale v těchto případech při práci s exponentem hledáte kořeny obou stran. Jinými slovy, při práci s kořenem provádíte umocňování pro obě strany. Viz. níže:

Pro exponent najděte kořen. Příklad: x² = 49 → x = √49

U kořenů zvedněte. Příklad: x = 12 → x = 12²

Část 4 z 5: Vylepšete své dovednosti v algebře

Krok 1. Pomocí obrázků zpřesněte otázky

Pokud máte potíže s představou problému s algebrou, zkuste pro ilustraci své rovnice použít diagram nebo obrázek. Pokud nějaký máte, můžete se dokonce pokusit použít spoustu fyzických předmětů (jako jsou bloky nebo mince).

Řešme například rovnici x + 2 = 3 pomocí čtverce (☐)

x +2 = 3

☒+☐☐ =☐☐☐

V tomto kroku odečteme 2 z obou stran odstraněním 2 čtverců (☐☐) z obou stran:

☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐

= ☐ nebo x =

Krok 1.
Jako další příklad zkusme 2x = 4

☒☒ =☐☐☐☐

V tomto kroku rozdělíme obě strany oddělením polí na každé straně do dvou skupin:

☒|☒ =☐☐|☐☐

=, nebo x =

Krok 2.

Krok 2. Použijte „kontroly zdravého rozumu“(zejména u příběhových otázek)

Při převádění problémů příběhu na algebru zkuste zkontrolovat vzorce zadáním jednoduchých hodnot pro proměnné. Má vaše rovnice smysl, když x = 0? Kdy x = 1? Když x = -1? Je snadné udělat jednoduchou chybu, když napíšete p = 6d, když myslíte p = d/6, ale tyto věci snadno zjistíte, pokud svou práci provedete rychle a zdravým rozumem, než budete pokračovat.

Například nám bylo řečeno, že fotbalové hřiště je o 30 m delší než široké. K vyjádření tohoto problému používáme rovnici p = l + 30. Můžeme ověřit, zda má tato rovnice smysl, zadáním jednoduchých hodnot pro l. Pokud má pole například šířku l = 10 m, je délka 10 + 30 = 40 m. Pokud je šířka 30 m, délka je 30 + 30 = 60 m atd. Tato rovnice dává smysl - očekáváme, že toto pole bude mít s rostoucí šířkou větší délku, takže tato rovnice dává smysl

Krok 3. Všimněte si, že odpovědi nejsou vždy celá čísla v algebře

Odpovědi v algebře a dalších pokročilých formách nejsou vždy jednoduchá, kulatá čísla. Toto číslo může být desítkové, zlomkové nebo iracionální číslo. Kalkulačka vám může pomoci najít tyto složité odpovědi, ale mějte na paměti, že váš učitel může vyžadovat, abyste své odpovědi psali v přesné formě, nikoli ve složité desítkové podobě.

Například zjednodušíme algebraickou rovnici na x = 1250⁷. Napíšeme -li 1250⁷ v kalkulačce získáme velmi mnoho desetinných míst (navíc, protože obrazovka kalkulačky není příliš velká, kalkulačka nemůže zobrazit všechny odpovědi.) V takovém případě možná budeme chtít naši odpověď zapsat jako pouze 1250⁷ nebo odpověď zjednodušte napsáním ve vědecké notaci.

Krok 4. Až si budete jisti základní algebrou, zkuste faktoring

Jednou z nejsložitějších algebraických schopností ze všech je faktoring - druh zkratky pro přeměnu složitých rovnic na jednodušší formy. Faktoring je částečně pokročilé téma algebry, takže pokud máte potíže s jeho zvládnutím, zvažte nahlédnutí do výše uvedeného článku. Níže uvádíme jen několik rychlých tipů pro faktoringové rovnice:

Rovnice tvaru ax + ba je započítána do a (x + b). Příklad: 2x + 4 = 2 (x + 2)
Rovnice tvaru osy² + bx je započítáno do cx ((a/c) x + (b/c)), kde c je největší číslo, které může rovnoměrně rozdělit a a b. Příklad: 3r² + 12y = 3y (y + 4)
Rovnice tvaru x² + bx + c je započítáno do (x + y) (x + z) kde y × z = c a yx + zx = bx. Příklad: x² + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).

Krok 5. Cvičte, cvičte a cvičte

Pokrok v algebře (a dalších typech matematiky) vyžaduje hodně tvrdé práce a opakování. Nebojte se - věnováním pozornosti ve třídě, plněním všech úkolů a vyhledáním pomoci od svého učitele nebo jiných studentů, když to potřebujete, se z algebry stane zvyk.

Krok 6. Požádejte svého učitele, aby vám pomohl porozumět složitým algebraickým tématům

Pokud máte potíže s porozuměním algebře, nebojte se - nemusíte se ji učit sami. Váš učitel je první osobou, na kterou byste se měli obrátit s dotazy. Po vyučování zdvořile požádejte svého učitele o pomoc. Dobrý učitel bude obvykle ochotný znovu vysvětlit téma dne na schůzce po škole a váš učitel vám může poskytnout další cvičné materiály.

Pokud vám z nějakého důvodu učitel nemůže pomoci, zeptejte se ho na další možnosti studia ve vaší škole. Mnoho škol má nějaký druh mimoškolního programu, který vám může pomoci získat více času a pozornosti, které potřebujete k tomu, abyste začali zvládat svoji algebru. Pamatujte, že používání bezplatné pomoci, kterou máte k dispozici, se nemusí stydět - je to známka toho, že jste dost chytří na to, abyste svůj problém vyřešili

Část 5 z 5: Zkoumání středně pokročilých témat

Krok 1. Naučte se grafovat rovnici x/y

Grafy mohou být v algebře cenným nástrojem, protože vám umožňují prezentovat nápady, které vyžadují čísla, ve formě snadno srozumitelných obrázků. V začátečníkové algebře jsou problémy s grafy obvykle omezeny na rovnice se dvěma proměnnými (obvykle x a y) a jsou reprezentovány v jednoduchých 2-D grafech s osou x a osou y. U těchto rovnic stačí zadat hodnotu pro x, poté hledat y (nebo naopak), abyste získali dvě čísla, která se stanou bodem v grafu.

Například v rovnici y = 3x, pokud zadáme 2 pro x, dostaneme y = 6. To znamená, že bod (2, 6) (dva kroky vpravo od středu grafu a šest kroků nahoru od středu grafu) je součástí grafu této rovnice.
Rovnice tvaru y = mx + b (kde m a b jsou čísla) jsou v základní algebře velmi běžné. Tyto rovnice mají vždy gradient nebo sklon m a protínají osu y v y = b.

Krok 2. Naučte se řešit nerovnosti

Co děláte, když vaše rovnice nemá znaménko rovnosti? Ukázalo se, že se příliš neliší od toho, co obvykle děláte. U nerovností, které používají znaky jako> („větší než“) a <(„menší než“), stačí vyřešit jako obvykle. Zanecháte odpověď, která je menší nebo větší než vaše proměnná.

Například s rovnicí 3> 5x - 2 bychom to vyřešili stejně jako běžnou rovnici:

3> 5x - 2

5> 5x

1> x, nebo x <1.
To znamená, že jakékoli číslo menší než jedno může být hodnotou x. Jinými slovy, x může být 0, -1, -2 atd. Pokud tato čísla vložíme do rovnice pro x, vždy dostaneme odpověď menší než 3.

Krok 3. Práce na kvadratických rovnicích

Jedním z algebraických témat, se kterým mohou mít začátečníci potíže, je řešení kvadratických rovnic. Čtverec je rovnice tvaru osy² + bx + c = 0, kde a, b, ac jsou čísla (kromě toho, že a nemůže být 0). Tyto rovnice jsou řešeny vzorcem x = [-b +/- (b² - 4ac)]/2a. Buďte opatrní - znaménko +/- znamená, že musíte najít odpovědi na sčítání a odčítání, abyste na tyto typy otázek mohli mít dvě odpovědi.

Pojďme například vyřešit kvadratický vzorec 3x² + 2x -1 = 0.

x = [-b +/- (nar² - 4ac)]/2a

x = [-2 +/- (2² - 4(3)(-1))]/2(3)

x = [-2 +/- (4- (-12))]/6

x = [-2 +/- (16)]/6

x = [-2 +/- 4]/6

x = - 1 a 1/3

Krok 4. Experimentujte se soustavami rovnic

Řešení více než jedné rovnice najednou může znít velmi komplikovaně, ale když pracujete s jednoduchými algebraickými rovnicemi, ve skutečnosti to není tak obtížné. Učitelé algebry často používají k řešení těchto problémů grafický přístup. Když pracujete se systémem dvou rovnic, řešením jsou body v grafu, kde se čáry obou rovnic protínají.

Například pracujeme se systémem, jehož rovnice jsou y = 3x -2 a y = -x -6. Pokud do grafu nakreslíme tyto dvě čáry, dostaneme jednu přímku, která stoupá o strmý úhel nahoru, a jednu to jde dolů strmým úhlem. jemným úhlem. Protože se tyto čáry v bodě protínají (-1, -5), pak je tento bod řešením tohoto systému.
Pokud si chceme ověřit svůj problém, můžeme tak učinit vložením naší odpovědi do rovnice v systému - správná odpověď bude „správná“pro obě rovnice.

y = 3x - 2

-5 = 3(-1) - 2

-5 = -3 - 2

-5 = -5

y = -x - 6

-5 = -(-1) - 6

-5 = 1 - 6

-5 = -5
Obě rovnice jsou „zaškrtnuté“, takže naše odpověď je správná!

Tipy

Existuje mnoho zdrojů pro výuku algebry z internetu. Vyhledejte ve vyhledávači například „algebraické vzorce“. Objeví se tolik skvělých výsledků. Můžete také zkusit procházet výběr matematických článků wikiHow. Existuje spousta informací, takže začněte prozkoumávat hned!
Jeden skvělý web pro začátečníky algebry je khanacademy.com. Tento bezplatný web nabízí desítky snadno sledovatelných lekcí na nejrůznější témata, včetně algebry. Pro všechna tato témata existují videa, od velmi jednoduchých základů až po pokročilá témata na úrovni univerzity. Nebojte se tedy prozkoumat materiály Khan Academy a začít využívat veškerou pomoc, kterou web nabízí!
Nezapomeňte, že vaše nejlepší zdroje, když se pokoušíte naučit algebru, zahrnují lidi, které dobře znáte. Zeptejte se svých přátel nebo spolužáků na poslední lekci, které jste nerozuměli.