Jak používat Pythagorovu větu: 12 kroků (s obrázky)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-16 19:16

Pythagorova věta popisuje délky stran pravoúhlého trojúhelníku elegantním a praktickým způsobem, takže tato věta je dodnes široce používána. Tato věta uvádí, že pro jakýkoli pravý trojúhelník je součet čtverců neohnutých stran roven čtverci přepony. Jinými slovy, pro pravoúhlý trojúhelník s kolmými stranami a a b a přeponou c, A² + b² = c².

Pythagorova věta je jedním ze základních pilířů elementární geometrie. Existuje nespočet aplikací, které například používají tuto větu, aby bylo snadné najít vzdálenost mezi dvěma body v souřadnicové rovině.

Krok

Metoda 1 ze 2: Hledání stran pravého trojúhelníku

Krok 1. Ujistěte se, že váš trojúhelník je pravý trojúhelník

Pythagorova věta platí pouze pro pravé trojúhelníky, takže než budete pokračovat, je velmi důležité zajistit, aby vaše trojúhelníky odpovídaly vlastnostem pravoúhlých trojúhelníků. Naštěstí existuje jeden faktor, který může naznačovat, že váš trojúhelník je pravý trojúhelník. Váš trojúhelník by měl mít jeden úhel 90 stupňů.

Jako znamení jsou pravoúhlé trojúhelníky často označeny malými čtverečky pro označení 90stupňových úhlů, bez použití zakřivených „křivek“. Tuto konkrétní značku hledejte v rohu trojúhelníku

Krok 2. Uveďte proměnné a, b, a c pro strany vašeho trojúhelníku

V Pythagorově větě proměnné aab představují strany, které se setkávají v pravém trojúhelníku, zatímco proměnná c představuje přepona - dlouhá strana proti pravému úhlu. Nejprve tedy označte krátké strany vašeho trojúhelníku proměnnými a a b (nezáleží na tom, zda je zaměníte) a přepona označte proměnnou c.

Krok 3. Rozhodněte, kterou stranu trojúhelníku chcete vyřešit

Pythagorova věta umožňuje matematikům najít délku libovolné strany pravoúhlého trojúhelníku, pokud znají délky ostatních dvou stran. Určete, která strana je neznámá - a, b a/nebo c. Pokud je délka jedné z vašich stran neznámá, jste připraveni jít dál.

• Například víme, že délka přepony trojúhelníku je 5 a délka jedné z ostatních stran je 3, ale nejsme si jisti délkou třetí strany. V tomto případě víme, že hledáme délku třetí strany, a protože známe délky dalších dvou, můžeme to vyřešit! Na tomto problému budeme pracovat s následujícími kroky.
• Pokud neznáte délky dvou stran, musíte znát jednu ze stran, abyste mohli používat Pythagorovu větu. Základní trigonometrické funkce vám mohou pomoci, pokud znáte jednu stranu trojúhelníku, která není šikmá.

Krok 4. Zapojte do rovnice oboustranné hodnoty, které již znáte

Zapojte délky stran trojúhelníku do rovnice a² + b² = c². Pamatujte, že a a b nejsou šikmé strany, zatímco c je přepona.

V našem příkladu známe délku jedné ze stran a přepona (3 a 5), takže rovnice se stane 3² + b² = 5²

Krok 5. Čtverec

Chcete -li vyřešit svou rovnici, začněte kvadraturou známých stran. Alternativně, pokud vám to připadá jednodušší, můžete ponechat své boční délky na druhou a později je zarovnat.

• V našem příkladu dáme čtverec 3 a 5, abychom dostali

  Krok 9. da

  Krok 25.. Rovnici můžeme zapsat jako 9 + b² = 25.

Krok 6. Přesuňte neznámou proměnnou na druhou stranu rovnice

Pokud je to nutné, použijte základní algebraické operace, aby se neznámá proměnná přesunula na druhou stranu rovnice a čtverec ostatních dvou proměnných na druhou stranu. Pokud chcete zjistit délku přepony, c je již na druhé straně rovnice, takže pro její přesun nemusíte dělat nic.

V našem příkladu je aktuální rovnice 9 + b² = 25. Pro posunutí b² odečtěte obě strany rovnice o 9, takže výsledkem je b² = 16

Krok 7. Druhá odmocnina obou stran rovnice

Nyní je na jedné straně na druhou pouze jedna proměnná a na druhé číslo. Druhá odmocnina obou stran pro zjištění délky neznámé strany.

• V našem případě b² = 16, přičemž odmocnina obou stran dává b = 4. Můžeme tedy říci, že délka neznámé strany trojúhelníku je

  Krok 4..

Krok 8. Pomocí Pythagorovy věty najděte strany pravého pravoúhlého trojúhelníku

Důvodem, proč je Pythagorova věta dnes široce používána, je to, že ji lze použít na nespočet praktických situací. Naučte se znát pravé trojúhelníky v reálném životě - v každé situaci, kde dva objekty nebo přímé čáry svírají pravý úhel a třetí objekt nebo čára spojuje dva objekty nebo čáry diagonálně, pak můžete pomocí Pythagorovy věty zjistit délku strany druhý, pokud jsou známy délky dalších dvou stran.

• Zkusme skutečný příklad, který je trochu obtížnější. O budovu se opírá žebřík. Vzdálenost ode dna schodiště ke zdi je 5 metrů. Výška schodiště dosahuje 20 metrů. Jak dlouhý je žebřík?

  • 5 metrů od zdi a 20 metrů vysoko nám říká délky stran trojúhelníku. Protože stěna a země (předpokládá se) svírají pravý úhel a žebřík je podepřen diagonálně ke zdi, lze toto uspořádání považovat za pravoúhlý trojúhelník s délkami stran a = 5 a b = 20. Délka žebříku je přepona, takže hodnota c není, je známa. Použijme Pythagorovu větu:

    • a² + b² = c²
    • (5) ² + (20) ² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • kořen (425) = c
    • c = 20,6. Přibližná délka žebříku je 20,6 metru.

Metoda 2 ze 2: Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body v rovině X-Y

Krok 1. Najděte dva body v rovině X-Y

Pythagorovu větu lze snadno použít k výpočtu vzdálenosti přímky mezi dvěma body v rovině X-Y. Vše, co potřebujete vědět, jsou souřadnice x a y obou bodů. Obvykle jsou tyto souřadnice zapsány společně ve tvaru (x, y).

Abychom našli vzdálenost mezi těmito dvěma body, budeme každý bod považovat za jeden z nesprávných úhlů pravoúhlého trojúhelníku. Díky tomu bude snadné najít délky stran a a b a poté vypočítat přepona c, což je vzdálenost mezi dvěma body

Krok 2. Nakreslete své dva body do obrázku

V pravidelné rovině X-Y představuje každý bod (x, y), x vodorovnou souřadnici a y představuje svislou souřadnici. Vzdálenost mezi dvěma body můžete najít, aniž byste ji nakreslili, ale tím získáte vizuální obraz, pomocí kterého můžete zjistit, zda je vaše odpověď správná.

Krok 3. Zjistěte délku nekloněné strany vašeho trojúhelníku

Pomocí dvou bodů jako úhlů trojúhelníku sousedícího s přeponou najděte délky stran a a b trojúhelníku. To lze provést pomocí obrázku nebo pomocí vzorce | x₁ - X₂| pro vodorovnou stranu a | y₁ - y₂| pro svislou stranu, s (x₁, y₁) jako první bod a (x₂, y₂) jako druhý bod.

• Nechť jsou naše dva body (6, 1) a (3, 5). Délka horizontální strany našeho trojúhelníku je:

  • | x₁ - X₂|
  • |3 - 6|

  • | -3 | =

    Krok 3.

• Délka svislé strany je:

  • | y₁ - y₂|
  • |1 - 5|

  • | -4 | =

    Krok 4.

• Takže v našem pravoúhlém trojúhelníku strana a = 3 a strana b = 4.

Krok 4. Pomocí Pythagorovy věty najděte délku přepony

Vzdálenost mezi dvěma body je délka přepony trojúhelníku, jehož dvě strany jste právě našli. Použijte Pythagorovu větu k nalezení přepony, kde a je délka první strany a b je délka druhé strany.

• V našem příkladu používáme body (3, 5) a (6, 1), jejichž boční délky jsou 3 a 4, takže přepona můžeme najít následovně:

  • (3) ²+(4) ² = c²

    c = kořen (9+16)

    c = kořen (25)

    c = 5. Vzdálenost mezi (3, 5) a (6, 1) je

    Krok 5..

Tipy

• Přepona je vždy:

  • proti pravému úhlu (bez dotyku pravého úhlu)
  • nejdelší strana v pravoúhlém trojúhelníku
  • v Pythagorově větě nazývané c
• root (x) znamená druhou odmocninu x.
• Nezapomeňte vždy zkontrolovat své odpovědi. Pokud se vaše odpověď zdá být špatná, zkuste to znovu a zkuste to znovu.
• Pokud trojúhelník není pravoúhlý, potřebujete další informace, nejen délky ostatních dvou stran.
• Další způsob kontroly - nejdelší strana je proti největšímu úhlu a nejkratší strana je proti nejmenšímu úhlu.
• Čísla jsou klíčem k zapsání správných hodnot pro a, b a c. Pokud pracujete na problému příběhu, nezapomeňte si problém nejprve zapsat do obrázkové podoby.
• Pokud znáte pouze délku jedné strany, Pythagorova věta nefunguje. Zkuste použít trigonometrii (sin, cos, tan) nebo 30-60-90 / 45-45-90.